题目
8、设随机变量X与Y相互独立,则下列选项 错 误的是 ()-|||-A (XX)=g(X)E(Y)-|||-B D(X+Y)=D(X)+D(Y)-|||-C (x-y)=D(x)-D(x)-|||-D ρxy=covx,y)=0
题目解答
答案
C. $D(x-y)=D(x)-D(x)$
解析
步骤 1：理解随机变量的独立性
随机变量X与Y相互独立，意味着它们的联合概率分布可以分解为各自边缘概率分布的乘积。即，对于所有可能的x和y，有P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)。
步骤 2：分析选项A
选项A表示E(XY) = E(X)E(Y)。由于X与Y相互独立，根据独立随机变量的期望性质，E(XY) = E(X)E(Y)成立。因此，选项A正确。
步骤 3：分析选项B
选项B表示D(X+Y) = D(X) + D(Y)。由于X与Y相互独立，根据独立随机变量的方差性质，D(X+Y) = D(X) + D(Y)成立。因此，选项B正确。
步骤 4：分析选项C
选项C表示D(X-Y) = D(X) - D(Y)。由于X与Y相互独立，根据独立随机变量的方差性质，D(X-Y) = D(X) + D(Y)成立，而不是D(X) - D(Y)。因此，选项C错误。
步骤 5：分析选项D
选项D表示ρxy = cov(X,Y) = 0。由于X与Y相互独立，根据独立随机变量的协方差性质，cov(X,Y) = 0成立。因此，选项D正确。
随机变量X与Y相互独立，意味着它们的联合概率分布可以分解为各自边缘概率分布的乘积。即，对于所有可能的x和y，有P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)。
步骤 2：分析选项A
选项A表示E(XY) = E(X)E(Y)。由于X与Y相互独立，根据独立随机变量的期望性质，E(XY) = E(X)E(Y)成立。因此，选项A正确。
步骤 3：分析选项B
选项B表示D(X+Y) = D(X) + D(Y)。由于X与Y相互独立，根据独立随机变量的方差性质，D(X+Y) = D(X) + D(Y)成立。因此，选项B正确。
步骤 4：分析选项C
选项C表示D(X-Y) = D(X) - D(Y)。由于X与Y相互独立，根据独立随机变量的方差性质，D(X-Y) = D(X) + D(Y)成立，而不是D(X) - D(Y)。因此，选项C错误。
步骤 5：分析选项D
选项D表示ρxy = cov(X,Y) = 0。由于X与Y相互独立，根据独立随机变量的协方差性质，cov(X,Y) = 0成立。因此，选项D正确。