题目
设 OLS 法得到的样本回归直线为 Y_i = hat(beta)_1 + hat(beta)_2 X_i + e_i，以下说法正确的是 A. sum e_i neq 0B. sum e_i hat(Y)_i neq 0C. hat(Y) neq overline(Y)D. sum e_i X_i = 0
设 OLS 法得到的样本回归直线为 $Y_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i + e_i$，以下说法正确的是
- A. $\sum e_i \neq 0$
- B. $\sum e_i \hat{Y}_i \neq 0$
- C. $\hat{Y} \neq \overline{Y}$
- D. $\sum e_i X_i = 0$
题目解答
答案
在普通最小二乘法（OLS）回归中，以下性质成立：
- 残差和为零：$\sum e_i = 0$，排除选项A。
- 残差与预测值的协方差为零：$\sum e_i \hat{Y}_i = 0$，排除选项B。
- 预测值均值等于观测值均值：$\bar{\hat{Y}} = \bar{Y}$，排除选项C。
- 残差与自变量的协方差为零：$\sum e_i X_i = 0$，选项D正确。
答案：D
解析
本题考查普通最小二乘法（OLS）回归的基本性质，需掌握以下核心知识点：
- 残差项的性质：OLS回归中，残差项与自变量的线性组合满足特定正交性条件。
- 正规方程：通过最小化残差平方和推导出的两个关键等式，直接决定选项的正确性。
- 预测值与观测值的关系：OLS回归中预测值的均值等于观测值的均值。
破题关键：直接应用OLS的理论性质，逐一排除错误选项。
选项分析
选项A：$\sum e_i \neq 0$
- 性质：OLS回归中，残差项的和恒为零，即 $\sum e_i = 0$。
- 结论：选项A错误。
选项B：$\sum e_i \hat{Y}_i \neq 0$
- 性质：残差项与预测值 $\hat{Y}_i$ 的协方差为零，即 $\sum e_i \hat{Y}_i = 0$。
- 推导：$\hat{Y}_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i$，代入后可得 $\sum e_i \hat{Y}_i = 0$。
- 结论：选项B错误。
选项C：$\hat{Y} \neq \overline{Y}$
- 性质：OLS回归中，预测值的均值等于观测值的均值，即 $\overline{\hat{Y}} = \overline{Y}$。
- 结论：选项C错误。
选项D：$\sum e_i X_i = 0$
- 性质：OLS回归的正规方程之一，残差项与自变量的协方差为零，即 $\sum e_i X_i = 0$。
- 结论：选项D正确。