设随机变量 X sim N(3,1)，则 P(-1 leq X leq 1) = ( )A. 2Phi(2)-1B. Phi(4)-Phi(2)C. Phi(-4)-Phi(-2)D. Phi(2)-Phi(4)
设随机变量 $X \sim N(3,1)$，则 $P(-1 \leq X \leq 1) = (\quad)$ A. $2\Phi(2)-1$ B. $\Phi(4)-\Phi(2)$ C. $\Phi(-4)-\Phi(-2)$ D. $\Phi(2)-\Phi(4)$
题目解答
答案
我们来一步一步地解这个题目。
题目已知：
随机变量 $ X \sim N(3, 1) $，表示 $ X $ 服从均值为 3，方差为 1 的正态分布，即标准差也为 1。
要求计算概率：
$P(-1 \leq X \leq 1)$
第一步：标准化
由于 $ X \sim N(3,1) $，我们可以通过标准化（Z变换）将其转化为标准正态分布 $ Z \sim N(0,1) $。
标准化公式为：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 3}{1} = X - 3$
所以：
$P(-1 \leq X \leq 1) = P\left( \frac{-1 - 3}{1} \leq Z \leq \frac{1 - 3}{1} \right) = P(-4 \leq Z \leq -2)$
第二步：用标准正态分布函数表示
设 $ \Phi(z) $ 为标准正态分布的累积分布函数（CDF），即 $ \Phi(z) = P(Z \leq z) $。
那么：
$P(-4 \leq Z \leq -2) = \Phi(-2) - \Phi(-4)$
第三步：观察选项
我们来看选项：
A. $ 2\Phi(2) - 1 $
B. $ \Phi(4) - \Phi(2) $
C. $ \Phi(-4) - \Phi(-2) $
D. $ \Phi(2) - \Phi(4) $
我们算出的结果是：
$\Phi(-2) - \Phi(-4)$
而选项 C 是：
$\Phi(-4) - \Phi(-2) = -(\Phi(-2) - \Phi(-4))$
符号相反，不正确。
注意：我们可以利用标准正态分布的对称性来进一步化简。
由于：
$\Phi(-a) = 1 - \Phi(a)$
所以：
$\Phi(-2) = 1 - \Phi(2), \quad \Phi(-4) = 1 - \Phi(4)$
代入：
$P(-4 \leq Z \leq -2) = \Phi(-2) - \Phi(-4) = (1 - \Phi(2)) - (1 - \Phi(4)) = \Phi(4) - \Phi(2)$
所以：
$P(-1 \leq X \leq 1) = \Phi(4) - \Phi(2)$
第四步：匹配选项
这个结果正好是 选项 B：
$\text{B. } \Phi(4) - \Phi(2)$
最终答案：
$\boxed{\text{B. } \Phi(4) - \Phi(2)}$
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换和标准正态分布函数Φ(z)的应用。
解题核心思路：
- 标准化：将非标准正态分布变量X转化为标准正态变量Z，利用公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
- 概率转换：将原概率范围转化为标准正态分布下的概率范围，利用Φ(z)的性质计算。
- 对称性应用：通过Φ(-a) = 1 - Φ(a)简化表达式，匹配选项形式。
破题关键点：
- 正确标准化是基础，需注意均值和标准差的代入。
- 符号处理：注意积分区间对应的Φ(z)差值符号，避免方向错误。
- 选项转换：通过Φ(z)的对称性将结果转化为选项中可能的形式。
标准化过程：
已知$X \sim N(3,1)$，标准化公式为：
$Z = \frac{X - 3}{1} = X - 3$
原概率范围$-1 \leq X \leq 1$对应：
$Z_1 = \frac{-1 - 3}{1} = -4, \quad Z_2 = \frac{1 - 3}{1} = -2$
因此，概率转化为：
$P(-4 \leq Z \leq -2)$
标准正态分布函数计算：
根据Φ(z)的定义：
$P(-4 \leq Z \leq -2) = \Phi(-2) - \Phi(-4)$
对称性化简：
利用Φ(-a) = 1 - Φ(a)：
$\Phi(-2) = 1 - \Phi(2), \quad \Phi(-4) = 1 - \Phi(4)$
代入得：
$\Phi(-2) - \Phi(-4) = (1 - \Phi(2)) - (1 - \Phi(4)) = \Phi(4) - \Phi(2)$
选项匹配：
最终结果$\Phi(4) - \Phi(2)$对应选项B。