22、设随机变量X~N(1，4)，且P(X≥a)=P(X≤a)，则a=____。第1空：1

考查要点：本题主要考查正态分布的对称性及其应用。

解题核心思路：正态分布关于其均值对称，即均值是分布的对称轴。当概率$P\{X \ge a\}$与$P\{X \le a\}$相等时，说明$a$是分布的对称中心，即均值。

破题关键点：

1. 识别正态分布的参数：题目中$X \sim N(1, 4)$，其中$\mu = 1$（均值），$\sigma^2 = 4$（方差）。
2. 利用对称性：正态分布的对称性表明，当$a$等于均值$\mu$时，左右两侧的概率相等。

已知$X \sim N(1, 4)$，即均值$\mu = 1$，方差$\sigma^2 = 4$。题目要求找到$a$使得$P\{X \ge a\} = P\{X \le a\}$。

步骤1：理解概率相等的含义

根据概率等式$P\{X \ge a\} = P\{X \le a\}$，可知$a$是分布的对称中心。对于正态分布，对称中心即均值$\mu$。

步骤2：直接应用对称性

由于正态分布关于$\mu$对称，当$a = \mu$时，左右两侧的概率必然相等。因此，$a = \mu = 1$。

步骤3（验证）：标准化计算

将$X$标准化为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1}{2}$，则原式变为：
$P\left\{Z \ge \frac{a - 1}{2}\right\} = P\left\{Z \le \frac{a - 1}{2}\right\}$
由于标准正态分布对称，当$\frac{a - 1}{2} = 0$时等式成立，解得$a = 1$。