对于任意的复数z_1和z_2，以下等式正确的是( )A. |z_1-z_2|=|z_1|-|z_2|B. |z_1-z_2|leq|z_1|-|z_2|C. |z_1-z_2|geq|z_1|-|z_2|D. |z_1-z_2|neq|z_1|-|z_2|

本题考查复数的模的性质，解题思路是利用复数模的几何意义或者复数的代数形式来推导$\vert z_1 - z_2\vert$与$\vert z_1\vert - \vert z_2\vert$的关系。

方法一：利用复数模的几何意义

设复数$z_1$，$z_2$在复平面内对应的向量分别为$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$，则$\vert z_1\vert$，$\vert z_2\vert$分别表示向量$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$的模，$\vert z_1 - z_2\vert=\vert\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}\vert$表示向量$\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}$的模。

根据三角形两边之差小于第三边的性质，在以$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$为邻边的三角形中，$\vert\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}\vert\geq\vert\vert\overrightarrow{OZ_1}\vert - \vert\overrightarrow{OZ_2}\vert\vert$。

因为$\vert\vert z_1\vert - \vert z_2\vert\vert\geq\vert z_1\vert - \vert z_2\vert$，所以$\vert z_1 - z_2\vert\geq\vert z_1\vert - \vert z_2\vert$。

方法二：利用复数的代数形式

设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，$a,b,c,d\in R$。
则$z_1 - z_2=(a - c)+(b - d)i$。
$\vert z_1 - z_2\vert=\sqrt{(a - c)^2+(b - d)^2}=\sqrt{a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2}$
$\vert z_1\vert=\sqrt{a^2 + b^2}$，$\vert z_2\vert=\sqrt{c^2 + d^2}$。
$(\vert z_1 - z_2\vert)^2=(a - c)^2+(b - d)^2=a^2 + b^2 + c^2 + d^2-2(ac + bd)$
$(\vert z_1\vert - \vert z_2\vert)^2=\vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 - 2\vert z_1\vert\vert z_2\vert=a^2 + b^2 + c^2 + d^2-2\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$

根据柯西不等式$(ac + bd)^2\leq(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$，即$\vert ac + bd\vert\leq\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$。
所以$(\vert z_1 - z_2\vert)^2-(\vert z_1\vert - \vert z_2\vert)^2=-2(ac + bd)+2\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}\geq0$
即$(\vert z_1 - z_2\vert)^2\geq(\vert z_1\vert - \vert z_2\vert)^2$。
因为$\vert z_1 - z_2\vert\geq0$，$\vert z_1\vert - \vert z_2\vert$为实数，所以$\vert z_1 - z_2\vert\geq\vert z_1\vert - \vert z_2\vert$。