3.填空题【填空题】75101B.某炼铁厂的铁水含碳量X~N(μ,0.108²)，现随机测定了5炉铁水，其含碳量为4.28，4.40，4.42，4.33，4.37，此时μ的置信水平为95%的双侧置信区间为____。 (保留两位小数，括号与逗号用半角，逗号后加一个空格)

考查要点：本题主要考查正态总体均值的双侧置信区间的计算，涉及样本均值、标准正态分布分位数、置信区间半径的计算。

解题核心思路：

1. 计算样本均值：作为置信区间的中心。
2. 确定分位数：根据置信水平95%和双侧检验，找到标准正态分布的临界值。
3. 计算置信区间半径：结合总体标准差、样本量和分位数。
4. 构建区间：用样本均值加减半径得到最终区间。

破题关键点：

• 总体方差已知，直接使用Z分布（标准正态分布）。
• 样本量较小（n=5），但题目未要求用t分布，说明允许使用Z近似。
• 四舍五入规则需注意，确保结果保留两位小数。

1. 计算样本均值

样本数据为：4.28, 4.40, 4.42, 4.33, 4.37
$\overline{X} = \frac{1}{5}(4.28 + 4.40 + 4.42 + 4.33 + 4.37) = \frac{21.80}{5} = 4.36$

2. 确定分位数

置信水平95%对应$\alpha = 0.05$，双侧检验时$\alpha/2 = 0.025$。查标准正态分布表得：
$u_{0.025} = 1.96$

3. 计算置信区间半径

总体标准差$\sigma = 0.108$，样本量$n = 5$：
$\text{半径} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot u_{\alpha/2} = \frac{0.108}{\sqrt{5}} \times 1.96 \approx 0.04829 \times 1.96 \approx 0.0947 \approx 0.09$

4. 构建置信区间

$\left( \overline{X} - 0.09, \overline{X} + 0.09 \right) = (4.36 - 0.09, 4.36 + 0.09) = (4.27, 4.45)$