题目
例题 4-2 汽车的主传动轴,由N o.45钢的无缝钢管制成,外径 D=-|||-90mm,壁厚 =2.5mm, 工作时的最大扭矩 =1.5kNcdot m, 若材料的许用切-|||-应力 [ r] =60MPa, 试校核该轴的强度。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算薄壁圆筒的切应力
根据薄壁圆筒的切应力公式，计算主传动轴的切应力。公式为：
\[ t = \frac{T}{2\pi r_0^2 \theta} \]
其中，$T$ 是扭矩，$r_0$ 是圆筒的平均半径，$\theta$ 是壁厚。首先计算平均半径 $r_0$：
\[ r_0 = \frac{D - 2\theta}{2} = \frac{90 - 2 \times 2.5}{2} = 42.5 \text{ mm} \]
然后代入公式计算切应力：
\[ t = \frac{1.5 \times 10^3 \text{ N}\cdot\text{m}}{2\pi (42.5 \times 10^{-3} \text{ m})^2 \times 2.5 \times 10^{-3} \text{ m}} = 52.9 \times 10^6 \text{ Pa} = 52.9 \text{ MPa} \]
步骤 2：计算圆轴的切应力
根据圆轴的切应力公式，计算主传动轴的切应力。公式为：
\[ t = \frac{T}{W} \]
其中，$T$ 是扭矩，$W$ 是抗扭截面系数。首先计算内外径之比 $\alpha$：
\[ \alpha = \frac{d}{D} = \frac{90 - 2 \times 2.5}{90} = 0.944 \]
然后计算抗扭截面系数 $W$：
\[ W = \frac{\pi D^3}{16} \left(1 - \alpha^4\right) = \frac{\pi \times 90^3}{16} \left(1 - 0.944^4\right) = 2.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3 \]
最后代入公式计算切应力：
\[ t = \frac{1.5 \times 10^3 \text{ N}\cdot\text{m}}{2.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 50.8 \times 10^6 \text{ Pa} = 50.8 \text{ MPa} \]
步骤 3：强度校核
比较两种计算结果，数值相近，均小于许用切应力 $[r] = 60 \text{ MPa}$，因此主传动轴安全。
根据薄壁圆筒的切应力公式，计算主传动轴的切应力。公式为：
\[ t = \frac{T}{2\pi r_0^2 \theta} \]
其中，$T$ 是扭矩，$r_0$ 是圆筒的平均半径，$\theta$ 是壁厚。首先计算平均半径 $r_0$：
\[ r_0 = \frac{D - 2\theta}{2} = \frac{90 - 2 \times 2.5}{2} = 42.5 \text{ mm} \]
然后代入公式计算切应力：
\[ t = \frac{1.5 \times 10^3 \text{ N}\cdot\text{m}}{2\pi (42.5 \times 10^{-3} \text{ m})^2 \times 2.5 \times 10^{-3} \text{ m}} = 52.9 \times 10^6 \text{ Pa} = 52.9 \text{ MPa} \]
步骤 2：计算圆轴的切应力
根据圆轴的切应力公式，计算主传动轴的切应力。公式为：
\[ t = \frac{T}{W} \]
其中，$T$ 是扭矩，$W$ 是抗扭截面系数。首先计算内外径之比 $\alpha$：
\[ \alpha = \frac{d}{D} = \frac{90 - 2 \times 2.5}{90} = 0.944 \]
然后计算抗扭截面系数 $W$：
\[ W = \frac{\pi D^3}{16} \left(1 - \alpha^4\right) = \frac{\pi \times 90^3}{16} \left(1 - 0.944^4\right) = 2.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3 \]
最后代入公式计算切应力：
\[ t = \frac{1.5 \times 10^3 \text{ N}\cdot\text{m}}{2.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 50.8 \times 10^6 \text{ Pa} = 50.8 \text{ MPa} \]
步骤 3：强度校核
比较两种计算结果，数值相近，均小于许用切应力 $[r] = 60 \text{ MPa}$，因此主传动轴安全。