题目
已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常生产情况下服从正态分布,其方差 (sigma )^2=(0.108)^2 。-|||-现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484,按此资料计算该厂铁水平均含碳量的置信水-|||-平为0.95的置信区间。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
置信区间公式为：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的临界值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本大小。
步骤 2：计算临界值$z_{\alpha/2}$
置信水平为0.95，因此$\alpha=1-0.95=0.05$，$\alpha/2=0.025$。查标准正态分布表，$z_{0.025}=1.96$。
步骤 3：计算置信区间的上下限
样本均值$\bar{x}=4.484$，总体标准差$\sigma=0.108$，样本大小$n=9$。
置信区间的下限为：$4.484 - 1.96 \cdot \frac{0.108}{\sqrt{9}} = 4.484 - 1.96 \cdot \frac{0.108}{3} = 4.484 - 0.07056 = 4.41344$。
置信区间的上限为：$4.484 + 1.96 \cdot \frac{0.108}{\sqrt{9}} = 4.484 + 1.96 \cdot \frac{0.108}{3} = 4.484 + 0.07056 = 4.55456$。
置信区间公式为：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的临界值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本大小。
步骤 2：计算临界值$z_{\alpha/2}$
置信水平为0.95，因此$\alpha=1-0.95=0.05$，$\alpha/2=0.025$。查标准正态分布表，$z_{0.025}=1.96$。
步骤 3：计算置信区间的上下限
样本均值$\bar{x}=4.484$，总体标准差$\sigma=0.108$，样本大小$n=9$。
置信区间的下限为：$4.484 - 1.96 \cdot \frac{0.108}{\sqrt{9}} = 4.484 - 1.96 \cdot \frac{0.108}{3} = 4.484 - 0.07056 = 4.41344$。
置信区间的上限为：$4.484 + 1.96 \cdot \frac{0.108}{\sqrt{9}} = 4.484 + 1.96 \cdot \frac{0.108}{3} = 4.484 + 0.07056 = 4.55456$。