题目
设X_(1),X_(2),X_(3)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，Y=X_(1)^2+C(X_(2)+X_(3))^2，若Y服从自由度为2的chi^2分布，则C=______.A. 2B. 1/2C. 3D. 1/3
设$X_{1},X_{2},X_{3}$为来自总体$N(0,1)$的简单随机样本，$Y=X_{1}^{2}+C(X_{2}+X_{3})^{2}$，若$Y$服从自由度为2的$\chi^{2}$分布，则$C=$______.
A. 2
B. $1/2$
C. 3
D. $1/3$
题目解答
答案
B. $1/2$
解析
步骤 1：确定$X_1^2$的分布
由于$X_1$是来自总体$N(0,1)$的简单随机样本，因此$X_1^2$服从自由度为1的$\chi^2$分布，即$X_1^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 2：确定$Z = X_2 + X_3$的分布
$X_2$和$X_3$也是来自总体$N(0,1)$的简单随机样本，因此$Z = X_2 + X_3$服从正态分布$N(0,2)$。由于$Z$是两个独立的$N(0,1)$变量之和，其方差为$1+1=2$。
步骤 3：确定$\frac{Z^2}{2}$的分布
由于$Z \sim N(0,2)$，则$\frac{Z^2}{2} = \frac{(X_2 + X_3)^2}{2}$服从自由度为1的$\chi^2$分布，即$\frac{(X_2 + X_3)^2}{2} \sim \chi^2(1)$。
步骤 4：确定$Y$的分布
为了使$Y = X_1^2 + C(X_2 + X_3)^2$服从自由度为2的$\chi^2$分布，需要$C(X_2 + X_3)^2$与$\frac{(X_2 + X_3)^2}{2}$相同，即$C(X_2 + X_3)^2 = \frac{(X_2 + X_3)^2}{2}$。因此，$C = \frac{1}{2}$。
由于$X_1$是来自总体$N(0,1)$的简单随机样本，因此$X_1^2$服从自由度为1的$\chi^2$分布，即$X_1^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 2：确定$Z = X_2 + X_3$的分布
$X_2$和$X_3$也是来自总体$N(0,1)$的简单随机样本，因此$Z = X_2 + X_3$服从正态分布$N(0,2)$。由于$Z$是两个独立的$N(0,1)$变量之和，其方差为$1+1=2$。
步骤 3：确定$\frac{Z^2}{2}$的分布
由于$Z \sim N(0,2)$，则$\frac{Z^2}{2} = \frac{(X_2 + X_3)^2}{2}$服从自由度为1的$\chi^2$分布，即$\frac{(X_2 + X_3)^2}{2} \sim \chi^2(1)$。
步骤 4：确定$Y$的分布
为了使$Y = X_1^2 + C(X_2 + X_3)^2$服从自由度为2的$\chi^2$分布，需要$C(X_2 + X_3)^2$与$\frac{(X_2 + X_3)^2}{2}$相同，即$C(X_2 + X_3)^2 = \frac{(X_2 + X_3)^2}{2}$。因此，$C = \frac{1}{2}$。