2.当x→0时，x^3+x是sinx的____无穷小.A. 高阶B. 低阶C. 同阶非等价D. 等价

本题考查无穷小的比较这一知识点。解题思路是通过计算两个无穷小量之比的极限，根据极限值的情况来判断它们之间的关系。若极限值为$0$，则分子是分母的高阶无穷小；若极限值为$\infty$，则分子是分母的低阶无穷小；若极限值为非零常数$C$，则分子与分母是同阶无穷小；若极限值为$1$，则分子与分母是等价无穷小。

下面我们来计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^3 + x}{\sin x}$的值：

• 步骤一：对原式进行化简
  根据极限的运算法则$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}$（$\lim\limits_{x \to a} g(x) \neq 0$），可将$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^3 + x}{\sin x}$变形为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x(x^2 + 1)}{\sin x}$。
• 步骤二：利用等价无穷小替换
  当$x \to 0$时，$\sin x$与$x$是等价无穷小，即$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，那么$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$。
  所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x(x^2 + 1)}{\sin x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} (x^2 + 1)$。
• 步骤三：分别计算两个极限的值
  • 计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}$：由等价无穷小的性质可知$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$。
  • 计算$\lim\limits_{x \to 0} (x^2 + 1)$：将$x = 0$代入$x^2 + 1$可得$\lim\limits_{x \to 0} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$。
• 步骤四：计算最终结果
  将上述两个极限的值代入$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} (x^2 + 1)$可得：$1\times1 = 1$。

因为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^3 + x}{\sin x} = 1$，所以当$x \to 0$时，$x^3 + x$是$\sin x$的等价无穷小。