题目
一工厂生产的某种元件的寿命X(以小时计)服从参数为 mu =160, .-|||-(0gt 0) 的正态分布.若要求 120lt xleqslant 200 geqslant 0.80, 允许σ最大为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
元件的寿命X服从参数为 $\mu =160$ , $\sigma$ 的正态分布，即 $X\sim N(160,\sigma^2)$ 。
步骤 2：将概率问题转化为标准正态分布问题
要求 $P\{ 120\lt X\leqslant 200\} \geqslant 0.80$ ，即 $P\{ \frac{120-160}{\sigma} \lt \frac{X-160}{\sigma} \leqslant \frac{200-160}{\sigma} \} \geqslant 0.80$ 。
令 $Z=\frac{X-160}{\sigma}$ ，则 $Z\sim N(0,1)$ ，即 $P\{ \frac{-40}{\sigma} \lt Z \leqslant \frac{40}{\sigma} \} \geqslant 0.80$ 。
步骤 3：利用标准正态分布表求解
根据标准正态分布表，$P\{ Z \leqslant 1.282 \} \approx 0.9$ ，因此 $P\{ -1.282 \lt Z \leqslant 1.282 \} \approx 0.8$ 。
所以，$\frac{40}{\sigma} \geqslant 1.282$ ，解得 $\sigma \leqslant \frac{40}{1.282}$ 。
步骤 4：计算允许的最大σ值
$\sigma \leqslant \frac{40}{1.282} \approx 31.20$ 。
元件的寿命X服从参数为 $\mu =160$ , $\sigma$ 的正态分布，即 $X\sim N(160,\sigma^2)$ 。
步骤 2：将概率问题转化为标准正态分布问题
要求 $P\{ 120\lt X\leqslant 200\} \geqslant 0.80$ ，即 $P\{ \frac{120-160}{\sigma} \lt \frac{X-160}{\sigma} \leqslant \frac{200-160}{\sigma} \} \geqslant 0.80$ 。
令 $Z=\frac{X-160}{\sigma}$ ，则 $Z\sim N(0,1)$ ，即 $P\{ \frac{-40}{\sigma} \lt Z \leqslant \frac{40}{\sigma} \} \geqslant 0.80$ 。
步骤 3：利用标准正态分布表求解
根据标准正态分布表，$P\{ Z \leqslant 1.282 \} \approx 0.9$ ，因此 $P\{ -1.282 \lt Z \leqslant 1.282 \} \approx 0.8$ 。
所以，$\frac{40}{\sigma} \geqslant 1.282$ ，解得 $\sigma \leqslant \frac{40}{1.282}$ 。
步骤 4：计算允许的最大σ值
$\sigma \leqslant \frac{40}{1.282} \approx 31.20$ 。