一工厂生产的某种元件的寿命X(以小时计)服从参数为 mu =160, .-|||-(0gt 0) 的正态分布.若要求 120lt xleqslant 200 geqslant 0.80, 允许σ最大为多少?

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及标准化变换，涉及标准正态分布函数Φ的逆用，以及不等式求解。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将原正态变量X转化为标准正态变量Z，利用标准正态分布表求解概率对应的临界值。
2. 概率表达式转化：通过正态分布的对称性，将区间概率转化为标准正态分布函数Φ的表达式。
3. 不等式求解：根据题目给定的概率下限，建立关于σ的不等式，求出σ的最大值。

破题关键点：

• 正确标准化：将X的取值范围转化为Z的范围。
• 对称性应用：利用Φ(-a) = 1 - Φ(a)简化概率表达式。
• 分位数查找：通过Φ(z) = 0.9确定z值，进而解出σ。

标准化处理：
设X ~ N(160, σ²)，则标准化变量为：
$Z = \frac{X - 160}{\sigma} \sim N(0,1)$
原概率可转化为：
$P(120 < X \leq 200) = P\left( \frac{120-160}{\sigma} < Z \leq \frac{200-160}{\sigma} \right) = P\left( -\frac{40}{\sigma} < Z \leq \frac{40}{\sigma} \right)$

概率表达式简化：
根据标准正态分布的对称性：
$P\left( -\frac{40}{\sigma} < Z \leq \frac{40}{\sigma} \right) = \Phi\left( \frac{40}{\sigma} \right) - \Phi\left( -\frac{40}{\sigma} \right)$
利用Φ(-a) = 1 - Φ(a)，得：
$\Phi\left( \frac{40}{\sigma} \right) - \left[ 1 - \Phi\left( \frac{40}{\sigma} \right) \right] = 2\Phi\left( \frac{40}{\sigma} \right) - 1$

建立不等式：
题目要求概率≥0.8，即：
$2\Phi\left( \frac{40}{\sigma} \right) - 1 \geq 0.8$
解得：
$\Phi\left( \frac{40}{\sigma} \right) \geq 0.9$

查标准正态分布表：
当Φ(z) = 0.9时，对应的z值约为1.282（精确值可通过分位数表查询）。因此：
$\frac{40}{\sigma} \geq 1.282$
解得σ的最大值为：
$\sigma \leq \frac{40}{1.282} \approx 31.20$