题目
设X1,X2,X3为来自总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的一个样本，设X1,X2,X3为来自总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的一个样本,设X1,X2,X3为来自总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的一个样本是 设X1,X2,X3为来自总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的一个样本的无偏估计量,且 设X1,X2,X3为来自总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的一个样本 有效( ) A 对 B 错
，
,
是 
的无偏估计量,且 
有效( )
A 对
B 错
题目解答
答案
选择A
解析
步骤 1：计算 ${\hat {\mu }}_{1}$ 的方差
由于 ${\hat {\mu }}_{1}=\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}+\dfrac {1}{3}{X}_{3}$，且 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 是来自总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$ 的一个样本，因此它们的方差都是 $\sigma^2$。根据方差的性质，我们有：
$$D({\hat {\mu }}_{1})=D(\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}+\dfrac {1}{3}{X}_{3})=\dfrac {1}{9}D({X}_{1})+\dfrac {1}{9}D({X}_{2})+\dfrac {1}{9}D({X}_{3})$$
$$=\dfrac {1}{9}\sigma^2+\dfrac {1}{9}\sigma^2+\dfrac {1}{9}\sigma^2=\dfrac {1}{3}\sigma^2$$
步骤 2：计算 ${\hat {\mu }}_{2}$ 的方差
由于 ${\hat {\mu }}_{2}=\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{6}{X}_{2}+\dfrac {1}{2}{X}_{3}$，同样地，我们有：
$$D({\hat {\mu }}_{2})=D(\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{6}{X}_{2}+\dfrac {1}{2}{X}_{3})=\dfrac {1}{9}D({X}_{1})+\dfrac {1}{36}D({X}_{2})+\dfrac {1}{4}D({X}_{3})$$
$$=\dfrac {1}{9}\sigma^2+\dfrac {1}{36}\sigma^2+\dfrac {1}{4}\sigma^2=\dfrac {1}{9}\sigma^2+\dfrac {1}{36}\sigma^2+\dfrac {9}{36}\sigma^2=\dfrac {13}{36}\sigma^2$$
步骤 3：比较 ${\hat {\mu }}_{1}$ 和 ${\hat {\mu }}_{2}$ 的方差
由于 $\dfrac {1}{3}\sigma^2 < \dfrac {13}{36}\sigma^2$，因此 ${\hat {\mu }}_{1}$ 的方差小于 ${\hat {\mu }}_{2}$ 的方差，这意味着 ${\hat {\mu }}_{1}$ 较 ${\hat {\mu }}_{2}$ 更有效。
由于 ${\hat {\mu }}_{1}=\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}+\dfrac {1}{3}{X}_{3}$，且 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 是来自总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$ 的一个样本，因此它们的方差都是 $\sigma^2$。根据方差的性质，我们有：
$$D({\hat {\mu }}_{1})=D(\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}+\dfrac {1}{3}{X}_{3})=\dfrac {1}{9}D({X}_{1})+\dfrac {1}{9}D({X}_{2})+\dfrac {1}{9}D({X}_{3})$$
$$=\dfrac {1}{9}\sigma^2+\dfrac {1}{9}\sigma^2+\dfrac {1}{9}\sigma^2=\dfrac {1}{3}\sigma^2$$
步骤 2：计算 ${\hat {\mu }}_{2}$ 的方差
由于 ${\hat {\mu }}_{2}=\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{6}{X}_{2}+\dfrac {1}{2}{X}_{3}$，同样地，我们有：
$$D({\hat {\mu }}_{2})=D(\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{6}{X}_{2}+\dfrac {1}{2}{X}_{3})=\dfrac {1}{9}D({X}_{1})+\dfrac {1}{36}D({X}_{2})+\dfrac {1}{4}D({X}_{3})$$
$$=\dfrac {1}{9}\sigma^2+\dfrac {1}{36}\sigma^2+\dfrac {1}{4}\sigma^2=\dfrac {1}{9}\sigma^2+\dfrac {1}{36}\sigma^2+\dfrac {9}{36}\sigma^2=\dfrac {13}{36}\sigma^2$$
步骤 3：比较 ${\hat {\mu }}_{1}$ 和 ${\hat {\mu }}_{2}$ 的方差
由于 $\dfrac {1}{3}\sigma^2 < \dfrac {13}{36}\sigma^2$，因此 ${\hat {\mu }}_{1}$ 的方差小于 ${\hat {\mu }}_{2}$ 的方差，这意味着 ${\hat {\mu }}_{1}$ 较 ${\hat {\mu }}_{2}$ 更有效。