题目

下列说法正确的是（）A.在sim N(mu (sigma )^2)中，sim N(mu (sigma )^2)越大，sim N(mu (sigma )^2)的图像就越平缓B.若sim N(mu (sigma )^2)，则sim N(mu (sigma )^2)C.若sim N(mu (sigma )^2)，则sim N(mu (sigma )^2)D.以上都不对

下列说法正确的是（）

A.在 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 中， $\mu$ 越大， $f\left(x\right)$ 的图像就越平缓

B.若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，则 $\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

C.若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，则 $P\left\{a<X<b\right\}=Φ(b)-Φ(a)$

D.以上都不对

题目解答

答案

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 表示X服从参数为 $\mu,\sigma$ 的正态分布， $\mu$ 决定 $f\left(x\right)$ 图像的位置， $\mu$ 越大， $f\left(x\right)$ 的图像越靠右， $\sigma$ 决定 $f\left(x\right)$ 图像的平缓与陡峭，则 $\sigma$ 越大， $f\left(x\right)$ 的图像越平缓，则选项A错误；正态分布的标准化为 $\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$ ，则选项B正确； $P\left\{a<X<b\right\}=P\left\{\frac{a-\mu}{\sigma}<\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{b-\mu}{\sigma}\right\}$ $=Φ(\frac{b-\mu}{\sigma})-Φ(\frac{a-\mu}{\sigma})$ ，则选项C错误，因此选择B。

解析

步骤 1：理解正态分布的参数含义
在正态分布$X\sim N(\mu {\sigma }^{2})$中，μ表示分布的均值，σ表示分布的标准差。μ决定了分布的中心位置，而σ决定了分布的形状，即分布的平缓或陡峭程度。
步骤 2：分析选项A
选项A提到，越大，(x)f的图像就越平缓。这里的“越大”指的是σ越大。根据正态分布的性质，σ越大，分布的图像越平缓，因为σ越大，数据的离散程度越高，分布的形状就越宽。
步骤 3：分析选项B
选项B提到，若$X\sim N(\mu {\sigma }^{2})$，则$\dfrac {X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$。这是正态分布的标准化过程，将原分布转换为标准正态分布。通过减去均值μ并除以标准差σ，可以将任何正态分布转换为标准正态分布，即均值为0，方差为1的正态分布。
步骤 4：分析选项C
选项C提到，若$X\sim N(\mu {\sigma }^{2})$，则$P\{ a\lt X\lt b\} =\Phi (b)-\Phi (a)$。这里的Φ表示标准正态分布的累积分布函数。根据正态分布的性质，计算区间概率需要将原分布转换为标准正态分布，然后使用标准正态分布的累积分布函数计算概率。因此，正确的表达式应该是$P\{ a\lt X\lt b\} =\Phi (\dfrac {b-\mu }{\sigma })-\Phi (\dfrac {a-\mu }{\sigma })$。
步骤 5：总结
根据以上分析，选项A和选项C的表述不完全正确，而选项B的表述是正确的。