题目
设 X_1, ldots, X_n 是来自正态分布 N(mu, sigma^2) 的样本，且 sigma^2 未知，overline(X) 是样本均值， S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2 是样本方差，总体均值 mu 的置信度为 1-alpha 的置信区间是(）. A. (overline(X) - (S)/(sqrt(n)) t_(alpha)(n), overline(X) + (S)/(sqrt(n)) t_(alpha)(n))B. (overline(X) - (sigma)/(sqrt(n)) u_(alpha/2), overline(X) + (sigma)/(sqrt(n)) u_(alpha/2))C. (overline(X) - (S)/(sqrt(n)) t_(alpha)(n-1), overline(X) + (S)/(sqrt(n)) t_(alpha)(n-1))D. (overline(X) - (S)/(sqrt(n)) t_(alpha/2)(n-1), overline(X) + (S)/(sqrt(n)) t_(alpha/2)(n-1))
设 $X_1, \ldots, X_n$ 是来自正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，且 $\sigma^2$ 未知，$\overline{X}$ 是样本均值，
$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 是样本方差，总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间是(）.
- A. $(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n))$
- B. $(\overline{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha/2}, \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha/2})$
- C. $(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n-1))$
- D. $(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1))$
题目解答
答案
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，应使用 t 分布构造置信区间。t 统计量为：
\[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \]
对于置信度为 $1-\alpha$，需找到 $t_{\alpha/2}(n-1)$，满足：
\[ -t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1) \]
解得置信区间为：
\[ \left( \overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right) \]
选项分析：
- **A**：使用 $t_{\alpha}(n)$，错误（自由度和分位数不匹配）。
- **B**：使用 $\sigma$，错误（方差未知）。
- **C**：使用 $t_{\alpha}(n-1)$，错误（分位数不正确）。
- **D**：符合上述公式，正确。
答案：$\boxed{D}$
解析
步骤 1：确定使用 t 分布
由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们使用 t 分布来构造置信区间。t 分布的自由度为 $n-1$，其中 $n$ 是样本量。
步骤 2：构造 t 统计量
t 统计量为：\[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \] 其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。
步骤 3：确定置信区间
对于置信度为 $1-\alpha$，我们需要找到 $t_{\alpha/2}(n-1)$，满足：\[ -t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1) \] 解得置信区间为：\[ \left( \overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right) \]
步骤 4：分析选项
- **A**：使用 $t_{\alpha}(n)$，错误（自由度和分位数不匹配）。
- **B**：使用 $\sigma$，错误（方差未知）。
- **C**：使用 $t_{\alpha}(n-1)$，错误（分位数不正确）。
- **D**：符合上述公式，正确。
由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们使用 t 分布来构造置信区间。t 分布的自由度为 $n-1$，其中 $n$ 是样本量。
步骤 2：构造 t 统计量
t 统计量为：\[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \] 其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。
步骤 3：确定置信区间
对于置信度为 $1-\alpha$，我们需要找到 $t_{\alpha/2}(n-1)$，满足：\[ -t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1) \] 解得置信区间为：\[ \left( \overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right) \]
步骤 4：分析选项
- **A**：使用 $t_{\alpha}(n)$，错误（自由度和分位数不匹配）。
- **B**：使用 $\sigma$，错误（方差未知）。
- **C**：使用 $t_{\alpha}(n-1)$，错误（分位数不正确）。
- **D**：符合上述公式，正确。