题目
某纺织厂进行轻浆试验,根据长期正常生产的累积资料,知道该厂单台布机的经纱断头率(每小时平均断经根数)的数学期望为9.73根,均方差为1.60根。现在把经纱上浆率降低20%,抽取200台布机进行试验,结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根,如果认为上浆率降低后均方差不变,问断头率是否受到显著影响(显著水平α=0.05)?()
某纺织厂进行轻浆试验,根据长期正常生产的累积资料,知道该厂单台布机的经纱断头率(每小时平均断经根数)的数学期望为9.73根,均方差为1.60根。现在把经纱上浆率降低20%,抽取200台布机进行试验,结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根,如果认为上浆率降低后均方差不变,问断头率是否受到显著影响(显著水平α=0.05)?
()
题目解答
答案
解:
:
,
:
检验统计量为
,的拒绝域为
。
计算得
,
对
,由已知得
因为
,所以不拒绝H,即可以认为上浆率降低后对断头率没有显著影响。
解析
步骤 1：定义假设
- 原假设 $H_0$：上浆率降低后，经纱断头率的数学期望 $\mu$ 与原数学期望 $\mu_0 = 9.73$ 相同。
- 备择假设 $H_1$：上浆率降低后，经纱断头率的数学期望 $\mu$ 与原数学期望 $\mu_0 = 9.73$ 不同。
步骤 2：计算检验统计量
- 检验统计量为 $U = \dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原数学期望，$\sigma$ 是均方差，$n$ 是样本容量。
- 代入已知数据：$\overline{X} = 9.89$，$\mu_0 = 9.73$，$\sigma = 1.60$，$n = 200$。
- 计算得 $U = \dfrac{9.89 - 9.73}{1.60 / \sqrt{200}} = \dfrac{0.16}{1.60 / \sqrt{200}} = \dfrac{0.16}{1.60 / 14.14} = \dfrac{0.16}{0.113} = 1.41$。
步骤 3：确定拒绝域
- 对于显著水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $z_{\alpha/2} = 1.96$。
- 拒绝域为 $|U| \geq 1.96$。
步骤 4：判断是否拒绝原假设
- 计算得 $|U| = 1.41$，小于临界值 $1.96$。
- 因此，不拒绝原假设 $H_0$，即可以认为上浆率降低后对断头率没有显著影响。
- 原假设 $H_0$：上浆率降低后，经纱断头率的数学期望 $\mu$ 与原数学期望 $\mu_0 = 9.73$ 相同。
- 备择假设 $H_1$：上浆率降低后，经纱断头率的数学期望 $\mu$ 与原数学期望 $\mu_0 = 9.73$ 不同。
步骤 2：计算检验统计量
- 检验统计量为 $U = \dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原数学期望，$\sigma$ 是均方差，$n$ 是样本容量。
- 代入已知数据：$\overline{X} = 9.89$，$\mu_0 = 9.73$，$\sigma = 1.60$，$n = 200$。
- 计算得 $U = \dfrac{9.89 - 9.73}{1.60 / \sqrt{200}} = \dfrac{0.16}{1.60 / \sqrt{200}} = \dfrac{0.16}{1.60 / 14.14} = \dfrac{0.16}{0.113} = 1.41$。
步骤 3：确定拒绝域
- 对于显著水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $z_{\alpha/2} = 1.96$。
- 拒绝域为 $|U| \geq 1.96$。
步骤 4：判断是否拒绝原假设
- 计算得 $|U| = 1.41$，小于临界值 $1.96$。
- 因此，不拒绝原假设 $H_0$，即可以认为上浆率降低后对断头率没有显著影响。