45 单选题 若随机变量 X sim N(mu, sigma^2)，且sigma未知，从中随机抽取样本 x_1, x_2, ..., x_n，则由 s^2 估计 sigma^2 的置信区间时所依据的统计量为（）。A. zB. chi^2C. FD. t

本题考查考查正态总体方差的区间估计所依据的统计量，解题的关键在于明确不同统计量量在参数估计中的应用场景，以及在总体均值和方差未知情况下的处理方法。

• 明确问题：已知随机变量变量变量 $X \ \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $\sigma$ 未知，要根据样本 $x_1, x_2, \ \cdots, x_n$ 估计 $\sigma^2$ 的置信区间，需要确定所依据的统计量。
• 分析各统计量的应用：
  • 选项A：$z$ 统计量：$z变量环境z$ 统计量通常用于总体方差 $\sigma^2$ 已知时，对总体均值 $\mu$ 的区间估计。其形式为 $z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中 $\bar{X}$ 是样本均值，$n$ 是样本容量。本题中 $\sigma$ 未知，所以不使用 $z$ 统计量，A选项错误。
  • 选项B：$\chi^2$ 统计量：当总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$ 未知时，构造统计量 $\chi^2=\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$，该统计量服从自由度为 $n - 1$ 的 $\chi^2$ 分布，即 $\chi^2\sim\chi^2(n - 1)$。可以利用 $\chi^2$ 分布的性质来构造 $\sigma^2$ 的置信区间，所以本题依据的统计量是 $\chi^2$，B正确。
  • 选项C：$F$ 统计量：$F$ 统计量主要用于两个正态总体方差比的比的区间估计。设 $X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$X_2\cdots$，$X_{n_1}$ 是来自 $X_1$ 的样本，$Y_1\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，$Y_1$，$\cdots$，$Y_{n_2}$ 是来自 $Y_1$ 的样本，且两样本相互独立，则 $F = \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1 - 1,n_2 - 其形式为 \(F=\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}$，其中 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 分别是两个样本的方差。本题是单个总体方差的方差估计，不使用 $F$ 统计量，C错误。
  • 选项D：$t$ 统计量：$t$ 统计量用于总体方差 $\sigma^2$ 未知时，对总体均值 $\mu$ 的区间估计。其形式为 $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$，其中 $S$ 是样本标准差。本题是对总体方差 $\sigma^2$ 进行估计，不使用 $t$ 统计量，D错误。