题目
设某机器生产的零件长度(单位:cm)sim N(mu ,(sigma )^2),今抽取容量为16的样本，测得样本均值sim N(mu ,(sigma )^2),，则sim N(mu ,(sigma )^2),的置信度为0.95的置信下限为___；置信上限为___。sim N(mu ,(sigma )^2),注意：此题答案为小数形式，小数点后保留4位数字。
设某机器生产的零件长度(单位:cm)
今抽取容量为16的样本，测得样本均值
，则
的置信度为0.95的置信下限为___；置信上限为___。
注意：此题答案为小数形式，小数点后保留4位数字。
题目解答
答案
本题考查正态分布总体均值的区间估计问题。
因为总体方差
未知，所以使用t分布来构造置信区间。
所以的置信度为0.95的置信下限为9.7869，置信上限为10.2131。
解析
步骤 1：确定置信度和自由度
置信度为0.95,则 $\alpha =1-0.95=0.05$ 。$\dfrac {\alpha }{2}=0.025$ 。自由度 df=n-1=16-1=15 。
步骤 2：计算样本标准差
已知样本方差 ${s}^{2}=0.16$ ，则样本标准差 $s=\sqrt {0.16}=0.4$ 。
步骤 3：计算置信区间的半宽
$\dfrac {s}{\sqrt {n}}=\dfrac {0.4}{\sqrt {16}}=\dfrac {0.4}{4}=0.1$ 。
步骤 4：计算置信下限和置信上限
置信下限为 $\overline {x}-{t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)\dfrac {s}{\sqrt {n}}=10-2.131\times 0.1=10-0.2131=9.7869$ 。
置信上限为 $\overline {x}+{t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)\dfrac {s}{\sqrt {n}}=10+2.131\times 0.1=10+0.2131=10.2131$ 。
置信度为0.95,则 $\alpha =1-0.95=0.05$ 。$\dfrac {\alpha }{2}=0.025$ 。自由度 df=n-1=16-1=15 。
步骤 2：计算样本标准差
已知样本方差 ${s}^{2}=0.16$ ，则样本标准差 $s=\sqrt {0.16}=0.4$ 。
步骤 3：计算置信区间的半宽
$\dfrac {s}{\sqrt {n}}=\dfrac {0.4}{\sqrt {16}}=\dfrac {0.4}{4}=0.1$ 。
步骤 4：计算置信下限和置信上限
置信下限为 $\overline {x}-{t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)\dfrac {s}{\sqrt {n}}=10-2.131\times 0.1=10-0.2131=9.7869$ 。
置信上限为 $\overline {x}+{t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)\dfrac {s}{\sqrt {n}}=10+2.131\times 0.1=10+0.2131=10.2131$ 。