题目
样本 X_1, X_2, ldots, X_n 来自总体 X sim N(0,1) ， overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i ， S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2 ，则下列结论正确的是()。A. noverline(X) sim N(0,1)B. overline(X) sim N(0,1)C. sum_(i=1)^n X_i^2 sim chi^2(n)D. (overline(X))/(S) sim t(n-1)
样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自总体 $X \sim N(0,1)$ ， $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ ， $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ ，则下列结论正确的是()。
A. $n\overline{X} \sim N(0,1)$
B. $\overline{X} \sim N(0,1)$
C. $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$
D. $\frac{\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$
题目解答
答案
C. $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$
解析
步骤 1：分析选项A
$n\overline{X} = \sum_{i=1}^n X_i$，由于 $X_i \sim N(0,1)$，所以 $\sum_{i=1}^n X_i \sim N(0, n)$，方差为 $n$，因此选项A错误。
步骤 2：分析选项B
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，由于 $X_i \sim N(0,1)$，所以 $\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，方差为 $\frac{1}{n}$，因此选项B错误。
步骤 3：分析选项C
$X_i^2 \sim \chi^2(1)$，因为 $X_i \sim N(0,1)$，所以 $\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$，因此选项C正确。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，但是 $\frac{\overline{X}}{S}$ 缺少 $\sqrt{n}$，因此选项D错误。
$n\overline{X} = \sum_{i=1}^n X_i$，由于 $X_i \sim N(0,1)$，所以 $\sum_{i=1}^n X_i \sim N(0, n)$，方差为 $n$，因此选项A错误。
步骤 2：分析选项B
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，由于 $X_i \sim N(0,1)$，所以 $\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，方差为 $\frac{1}{n}$，因此选项B错误。
步骤 3：分析选项C
$X_i^2 \sim \chi^2(1)$，因为 $X_i \sim N(0,1)$，所以 $\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$，因此选项C正确。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，但是 $\frac{\overline{X}}{S}$ 缺少 $\sqrt{n}$，因此选项D错误。