求下列函数的导数:-|||-(1) =xsqrt (x);-|||-(2) =sin x-|||-;(3) =(5)^x;-|||-(4) =ln x.

本题主要考查常见函数的求导公式及求导法则的运用。对于不同形式的函数，我们需要根据相应的求导公式来计算其导数。

1. 对于函数$y = x\sqrt{x}$：
   • 首先，将函数进行化简，根据根式与分数指数幂的关系$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$，可得$y = x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}$。
   • 再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，则$x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{1+\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}$。
   • 然后，根据幂函数求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对$y = x^{\frac{3}{2}}$求导，可得$y^\prime=(x^{\frac{3}{2}})^\prime=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$。
   • 最后，将$x^{\frac{1}{2}}$还原为根式形式，即$\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$。
2. 对于函数$y = \sin x$：
   • 根据正弦函数的求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，直接可得$y^\prime=(\sin x)^\prime=\cos x$。
3. 对于函数$y = 5^x$：
   • 根据指数函数求导公式$(a^x)^\prime=a^x\ln a$（其中$a\gt0$且$a\neq1$），对于$y = 5^x$，这里$a = 5$，所以$y^\prime=(5^x)^\prime=5^x\ln 5$。
4. 对于函数$y = \ln x$：
   • 根据对数函数求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$（$x\gt0$），可得$y^\prime=(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$。