5.设随机变量X的分布律为-|||-X -1 0 1/2 1 2-|||-pk 1/6 1/4 . 1/6 1/12 1/3-|||-计算随机变量X的方差及标准差.

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的方差与标准差的计算，需要掌握期望和方差的定义公式。

解题核心思路：

1. 计算期望 $E(X)$：将每个取值乘以其对应概率后相加。
2. 计算期望的平方 $[E(X)]^2$。
3. 计算平方的期望 $E(X^2)$：将每个取值的平方乘以其对应概率后相加。
4. 方差公式：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。
5. 标准差为方差的平方根。

破题关键点：

• 正确代入公式，注意区分 $E(X^2)$ 和 $[E(X)]^2$。
• 分步计算，避免符号错误和计算失误。

步骤1：计算期望 $E(X)$

$\begin{aligned}E(X) &= (-1) \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{12} + 2 \cdot \frac{1}{3} \\&= -\frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{3} \\&= -\frac{2}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{8}{12} \\&= \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.\end{aligned}$

步骤2：计算 $[E(X)]^2$

$[E(X)]^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}.$

步骤3：计算 $E(X^2)$

$\begin{aligned}E(X^2) &= (-1)^2 \cdot \frac{1}{6} + 0^2 \cdot \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{6} + 1^2 \cdot \frac{1}{12} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} \\&= 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{12} + 4 \cdot \frac{1}{3} \\&= \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{4}{3} \\&= \frac{4}{24} + \frac{1}{24} + \frac{2}{24} + \frac{32}{24} \\&= \frac{39}{24} = \frac{13}{8}.\end{aligned}$

步骤4：计算方差 $D(X)$

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{13}{8} - \frac{4}{9} = \frac{117}{72} - \frac{32}{72} = \frac{85}{72}.$

步骤5：计算标准差

标准差为方差的平方根：
$\sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{85}{72}} = \frac{\sqrt{85}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{170}}{12}.$