题目

随机变量X和Y相互独立,均服从标准正态分布，记_(1)=2X+2Y _(2)=2X-2Y(1)计算_(1)=2X+2Y _(2)=2X-2Y(2)求_(1)=2X+2Y _(2)=2X-2Y与_(1)=2X+2Y _(2)=2X-2Y的联合概率密度函数

随机变量X和Y相互独立,均服从标准正态分布，记 $Z_1=2X+2Y,Z_2=2X-2Y$

(1)计算 $Cov(Z_1,Z_2)$

(2)求 $Z_1$ 与 $Z_2$ 的联合概率密度函数

题目解答

答案

(1)由题意，

$Cov(2X+2Y,2X-2Y)$

$=Cov(2X,2X)-Cov(2X,2Y)+Cov(2Y,2X)-Cov(2Y,2Y)$

$=4D(X)-4D(Y)=0$

(2)由题意， $E(Z_1)=2E(X)+2E(Y)=2$ ， $E(Z_2)=2E(X)-2E(Y)=0$ 。 $D(Z_1)=D(Z_2)=4D(X)+4D(Y)=8$ 。由于正态分布的线性组合仍是正态分布，因此 $Z_1\sim N(2,8),Z_2\sim N(0,8)$ ， $(Z_1,Z_2)\sim N_2(2,0;8,8;0)$ ，故 $Z_1$ 与 $Z_2$ 的联合概率密度函数为 $f(z_1,z_2)=\frac{1}{8\pi}e^{-\frac{1}{8}((z_1-2)^2+z_2^2)}$