题目
8.设随机变量X，Y相互独立，且Xsim N(720,30^2)，Ysim N(640,25^2).求概率P(X>Y)，P(X+Y>1400).
8.设随机变量X，Y相互独立，且$X\sim N(720,30^{2})$，$Y\sim N(640,25^{2})$.求概率P(X>Y)，P(X+Y>1400).
题目解答
答案
1. **求 $P(X > Y)$**
定义 $Z = X - Y$，则 $Z \sim N(80, 1525)$。
标准化得 $U = \frac{Z - 80}{\sqrt{1525}}$，
$P(X > Y) = P(Z > 0) = P\left(U > \frac{-80}{\sqrt{1525}}\right) \approx P(U > -2.05) \approx 0.9798$。
2. **求 $P(X + Y > 1400)$**
定义 $W = X + Y$，则 $W \sim N(1360, 1525)$。
标准化得 $U = \frac{W - 1360}{\sqrt{1525}}$，
$P(X + Y > 1400) = P(W > 1400) = P\left(U > \frac{40}{\sqrt{1525}}\right) \approx P(U > 1.02) \approx 0.1539$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
P(X > Y) = 0.9798 \\
P(X + Y > 1400) = 0.1539
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：定义 $Z = X - Y$
由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的正态分布随机变量，$Z = X - Y$ 也是一个正态分布随机变量。根据正态分布的性质，$Z$ 的均值和方差分别为：
\[ \mu_Z = \mu_X - \mu_Y = 720 - 640 = 80 \]
\[ \sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 30^2 + 25^2 = 900 + 625 = 1525 \]
因此，$Z \sim N(80, 1525)$。
步骤 2：标准化 $Z$
为了计算 $P(X > Y)$，我们需要计算 $P(Z > 0)$。为此，我们首先将 $Z$ 标准化为标准正态分布 $U$：
\[ U = \frac{Z - \mu_Z}{\sigma_Z} = \frac{Z - 80}{\sqrt{1525}} \]
因此，$P(X > Y) = P(Z > 0) = P\left(U > \frac{-80}{\sqrt{1525}}\right)$。根据标准正态分布表，$P(U > -2.05) \approx 0.9798$。
步骤 3：定义 $W = X + Y$
同样地，$W = X + Y$ 也是一个正态分布随机变量。根据正态分布的性质，$W$ 的均值和方差分别为：
\[ \mu_W = \mu_X + \mu_Y = 720 + 640 = 1360 \]
\[ \sigma_W^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 30^2 + 25^2 = 900 + 625 = 1525 \]
因此，$W \sim N(1360, 1525)$。
步骤 4：标准化 $W$
为了计算 $P(X + Y > 1400)$，我们需要计算 $P(W > 1400)$。为此，我们首先将 $W$ 标准化为标准正态分布 $U$：
\[ U = \frac{W - \mu_W}{\sigma_W} = \frac{W - 1360}{\sqrt{1525}} \]
因此，$P(X + Y > 1400) = P(W > 1400) = P\left(U > \frac{40}{\sqrt{1525}}\right)$。根据标准正态分布表，$P(U > 1.02) \approx 0.1539$。
由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的正态分布随机变量，$Z = X - Y$ 也是一个正态分布随机变量。根据正态分布的性质，$Z$ 的均值和方差分别为：
\[ \mu_Z = \mu_X - \mu_Y = 720 - 640 = 80 \]
\[ \sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 30^2 + 25^2 = 900 + 625 = 1525 \]
因此，$Z \sim N(80, 1525)$。
步骤 2：标准化 $Z$
为了计算 $P(X > Y)$，我们需要计算 $P(Z > 0)$。为此，我们首先将 $Z$ 标准化为标准正态分布 $U$：
\[ U = \frac{Z - \mu_Z}{\sigma_Z} = \frac{Z - 80}{\sqrt{1525}} \]
因此，$P(X > Y) = P(Z > 0) = P\left(U > \frac{-80}{\sqrt{1525}}\right)$。根据标准正态分布表，$P(U > -2.05) \approx 0.9798$。
步骤 3：定义 $W = X + Y$
同样地，$W = X + Y$ 也是一个正态分布随机变量。根据正态分布的性质，$W$ 的均值和方差分别为：
\[ \mu_W = \mu_X + \mu_Y = 720 + 640 = 1360 \]
\[ \sigma_W^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 30^2 + 25^2 = 900 + 625 = 1525 \]
因此，$W \sim N(1360, 1525)$。
步骤 4：标准化 $W$
为了计算 $P(X + Y > 1400)$，我们需要计算 $P(W > 1400)$。为此，我们首先将 $W$ 标准化为标准正态分布 $U$：
\[ U = \frac{W - \mu_W}{\sigma_W} = \frac{W - 1360}{\sqrt{1525}} \]
因此，$P(X + Y > 1400) = P(W > 1400) = P\left(U > \frac{40}{\sqrt{1525}}\right)$。根据标准正态分布表，$P(U > 1.02) \approx 0.1539$。