2.假设一卷磁带上的缺陷数服从泊松分布P(λ)，其中λ可取1.0或1.5中的一个，又设λ的先验分布为pi(1.0)=0.4,pi(1.5)=0.6假如检查一卷磁带发现了3个缺陷，求θ的后验分布。

本题考查泊松分布的后验分布计算，解题思路是先根据泊松分布的概率公式求出似然函数，再将似然函数与先验分布相乘得到先验与似然的乘积，最后通过归一化得到后验分布。

1. 似然函数：
   根据泊松分布的概率公式 $P(X=k|\lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，已知 $k = 3$，则 $P(X=3|\lambda) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{6}$。
2. 先验与似然乘积：
   根据贝叶斯公式 $\pi(\lambda|X) \propto P(X|\lambda) \pi(\lambda)$，分别计算 $\lambda$ 取不同值时的先验与似然乘积。

• 当 $\lambda = 1.0$ 时：
  $P(X=3|\lambda = 1.0) = \frac{1.0^3 e^{-1.0}}{6} = \frac{e^{-1}}{6}$，则 $\pi(\lambda = 1.0|X=3) \propto \frac{e^{-1}}{6} \times 0.4 = \frac{0.4}{6e}$。
• 当 $\lambda = 1.5$ 时：
  $P(X=3|\lambda = 1.5) = \frac{1.5^3 e^{-1.5}}{6} = \frac{3.375e^{-1.5}}{6}$，则 $\pi(\lambda = 1.5|X=3) \propto \frac{3.375e^{-1.5}}{6} \times 0.6 = \frac{2.025e^{-1.5}}{6}$。

3. 归一化：
   归一化常数 $C = \frac{0.4}{6e} + \frac{2.025e^{-1.5}}{6}$。
   根据后验分布公式 $\pi(\lambda|X) = \frac{P(X|\lambda) \pi(\lambda)}{C}$，分别计算 $\lambda$ 取不同值时的后验分布。

• 当 $\lambda = 1.0$ 时：
  $\pi(\lambda = 1.0|X=3) = \frac{\frac{0.4}{6e}}{\frac{0.4}{6e} + \frac{2.025e^{-1.5}}{6}} = \frac{0.4}{6eC}$。
• 当 $\lambda = 1.5$ 时：
  $\pi(\lambda = 1.5|X=3) = \frac{\frac{2.025e^{-1.5}}{6}}{\frac{0.4}{6e} + \frac{2.025e^{-1.5}}{6}} = \frac{2.025e^{-1.5}}{6C}$。

4. 计算结果：
   通过近似计算可得 $\pi(\lambda = 1.0|X=3) \approx 0.2457$，$\pi(\lambda = 1.5|X=3) \approx 0.7543$。