题目

设 X_1, ldots, X_6 为总体 X sim N(0,1) 的一个样本，且 cY 服从 chi^2 分布，这里 Y=(X_1+X_2+X_3)^2+(X_4+X_5+X_6)^2，则 c= ________

设 $X_1, \ldots, X_6$ 为总体 $X \sim N(0,1)$ 的一个样本，且 $cY$ 服从 $\chi^2$ 分布，这里 $Y=(X_1+X_2+X_3)^2+(X_4+X_5+X_6)^2$，则 $c=$ ________

题目解答

答案

设 $A = X_1 + X_2 + X_3$，$B = X_4 + X_5 + X_6$，则 $A \sim N(0,3)$，$B \sim N(0,3)$。
标准化得 $Z_1 = \frac{A}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$，$Z_2 = \frac{B}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$。
于是 $Y = A^2 + B^2 = 3(Z_1^2 + Z_2^2)$，其中 $Z_1^2 + Z_2^2 \sim \chi^2(2)$。
为使 $cY \sim \chi^2(2)$，需 $c \cdot 3 = 1$，解得 $c = \frac{1}{3}$。

答案： $\boxed{\frac{1}{3}}$