由 y = x^2，y = x 所围成的平面图形的面积为( )。A. 1B. (1)/(2)C. (1)/(3)D. (1)/(6)

本题考查利用定积分求平面图形的面积。解题思路是先求出两条曲线的交点，确定积分区间，再判断在该区间内两条曲线的上下位置关系，最后根据定积分求面积的公式计算出所围成图形的面积。

步骤一：求两曲线的交点

联立$y = x^2$与$y = x$的方程$\begin{cases}y = x^2\\y = x\end{cases}$，将$y = x$代入$y = x^2$可得：
$x = x^2$
移项化为标准的一元二次方程形式：$x^2 - x = 0$
提取公因式$x$得：$x(x - 1) = 0$
则$x = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x = 0$或$x = 1$。
将$x = 0$和$x = 1$分别代入$y = x$，可得$y = 0$和$y = 1$。
所以两曲线的交点为$(0,0)$和$(1,1)$，积分区间为$[0,1]$。

步骤二：判断两曲线在积分区间内的上下位置关系

在区间$[0,1]$上，任取一个值$x_0\in(0,1)$，比较$x^2$与$x$的大小。
令$f(x)=x - x^2=x(1 - x)$，当$x\in(0,1)$时，$x\gt0$且$1 - x\gt0$，所以$f(x)=x - x^2\gt0$，即$x\gt x^2$。
这说明在区间$[0,1]$上，直线$y = x$在曲线$y = x^2$的上方。

步骤三：根据定积分求面积公式计算面积

由定积分求平面图形面积的公式：若在区间$[a,b]$上，$f(x)\geq g(x)$，则由$y = f(x)$，$y = g(x)$以及$x = a$，$x = b$所围成的平面图形的面积$S=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx$。
在本题中，$a = 0$，$b = 1$，$f(x)=x$，$g(x)=x^2$，则所围成图形的面积为：
$S=\int_{0}^{1}(x - x^2)dx$
根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(u(x)-v(x))dx=\int_{a}^{b}u(x)dx-\int_{a}^{b}v(x)dx$，可得：
$S=\int_{0}^{1}xdx-\int_{0}^{1}x^2dx$
根据定积分基本公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，分别计算两个定积分：
$\int_{0}^{1}xdx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\times1^2-\frac{1}{2}\times0^2=\frac{1}{2}$
$\int_{0}^{1}x^2dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times0^3=\frac{1}{3}$
所以$S=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$。