题目

若随机变量X与Y均服从正态分布，则(X,Y)一定服从二维正态分布。4. (单选题，10.0分)(判断10分)A.正确B.错误

若随机变量X与Y均服从正态分布，则(X,Y)一定服从二维正态分布。 4. (单选题，10.0分) (判断10分) A.正确 B.错误

题目解答

答案

要判断“若随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布，则 $(X, Y)$ 一定服从二维正态分布”这一陈述是否正确，我们需要理解一维正态分布与二维正态分布的性质。 一维正态分布描述的是一个随机变量的分布，而二维正态分布描述的是两个随机变量的联合分布。二维正态分布的 marginals（边缘分布）是正态分布，但边缘分布是正态分布的联合分布并不一定就是二维正态分布。 一个反例可以说明这一点。假设 $X$ 服从标准正态分布，即 $X \sim N(0, 1)$。定义 $Y$ 如下： \[ Y = \begin{cases} X & \text{以概率 } \frac{1}{2} \\ -X & \text{以概率 } \frac{1}{2} \end{cases} \] 可以证明 $Y$ 也服从标准正态分布，即 $Y \sim N(0, 1)$。然而，联合分布 $(X, Y)$ 并不服从二维正态分布。为了理解为什么，考虑 $X$ 和 $Y$ 的相关系数。如果 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，那么 $Y$ 可以表示为 $Y = \rho X + \sqrt{1 - \rho^2} Z$，其中 $Z$ 是与 $X$ 独立的标准正态随机变量，$\rho$ 是 $X$ 和 $Y$ 的相关系数。但是，在我们定义的 $Y$ 中，$Y$ 要么等于 $X$，要么等于 $-X$，这并不符合二维正态分布的形式。 因此，陈述“若随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布，则 $(X, Y)$ 一定服从二维正态分布”是错误的。 答案是 $\boxed{B}$。

解析

关键知识点：
本题考查二维正态分布的性质及其与边缘分布的关系。

  • 二维正态分布的边缘分布一定是正态分布，但边缘分布为正态分布并不能保证联合分布是二维正态分布。
  • 反例构造是解决此类问题的核心思路，需通过具体例子说明命题不成立。

破题关键：
理解“边缘分布为正态”与“联合分布为二维正态”之间的必要但不充分条件关系，通过构造两个正态变量但联合分布非二维正态的例子即可推翻原命题。

反例构造

  1. 定义随机变量：

    • 设 $X \sim N(0,1)$（标准正态分布）。
    • 定义 $Y$ 为：
      $Y = \begin{cases} X & \text{以概率 } \frac{1}{2}, \\ -X & \text{以概率 } \frac{1}{2}. \end{cases}$

  2. 验证 $Y$ 的分布：

    • 期望：$E(Y) = \frac{1}{2}E(X) + \frac{1}{2}E(-X) = 0$。
    • 方差：$E(Y^2) = \frac{1}{2}E(X^2) + \frac{1}{2}E(X^2) = 1$，故 $Y \sim N(0,1)$。

  3. 分析联合分布：

    • 若 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则 $Y$ 应可表示为 $Y = \rho X + \sqrt{1-\rho^2}Z$（其中 $Z \sim N(0,1)$ 且与 $X$ 独立）。
    • 但实际 $Y$ 仅取 $X$ 或 $-X$，与上述形式不符，且 $X$ 与 $Y$ 不独立（$Y$ 的取值完全依赖于 $X$）。
    • 计算相关系数 $\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = 0$，但二维正态分布中“不相关”等价于“独立”，矛盾。

结论：$(X,Y)$ 的联合分布非二维正态，原命题错误。