5.4 某居民小区共有居民 500 户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采 取重复抽样方法随机抽取了 50 户，其中有 32 户赞成，18 户反对。(1) 求总体中赞成新措施的户数比例的置信区间，置信水平为 95%。(2) 如果小区管理者预计赞成的比例能达到 80%，要求估计误差不超过10%。应抽取多少户进行调查？

考查要点：本题涉及统计学中的置信区间估计和样本量确定，需要掌握以下核心知识点：

1. 比例的置信区间计算：包括样本比例、标准误差、临界值及有限总体校正因子的应用。
2. 样本量计算：根据估计误差要求，结合比例和临界值确定所需样本量。

解题思路：

1. 第（1）题：需计算总体赞成比例的95%置信区间。关键点在于：
   • 样本比例的计算；
   • 标准误差需考虑有限总体校正因子（因样本量占总体比例超过5%）；
   • 通过临界值（Z=1.96）和标准误差计算边际误差，最终得到置信区间。
2. 第（2）题：根据给定的估计误差和比例，利用样本量公式反推所需样本量，注意结果需向上取整。

第（1）题

计算样本比例

样本中赞成户数为32，样本量$n=50$，则样本比例：
$\hat{p} = \frac{32}{50} = 0.64$

计算标准误差（考虑有限总体校正）

总体容量$N=500$，样本量$n=50$，校正因子为：
$\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \sqrt{\frac{450}{499}} \approx 0.9496$
标准误差：
$SE = 0.9496 \times \sqrt{\frac{0.64 \times 0.36}{50}} \approx 0.9496 \times 0.0679 \approx 0.0645$

计算边际误差

临界值$Z_{\alpha/2}=1.96$，边际误差：
$ME = 1.96 \times 0.0645 \approx 0.1265$

确定置信区间

置信区间下限：
$0.64 - 0.1265 = 0.5135 \approx 51.37\%$
置信区间上限：
$0.64 + 0.1265 = 0.7665 \approx 76.63\%$

第（2）题

根据误差公式求解样本量

估计误差$E=0.10$，临界值$Z=1.96$，预计比例$p=0.8$，代入公式：
$E = Z \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
解得：
$n = \frac{Z^2 \cdot p(1-p)}{E^2} = \frac{1.96^2 \cdot 0.8 \cdot 0.2}{0.10^2} \approx \frac{3.8416 \cdot 0.16}{0.01} \approx 61.47$
向上取整得$n=62$。