四、(15分)将函数f(z)=(1)/((z-1)(z-3))在圆环域1<|z|<3和3<|z|<+∞展开为洛朗级数.

将函数 $ f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-3)} $ 在圆环域 $ 1 < |z| < 3 $ 和 $ 3 < |z| < +\infty $ 内展开为洛朗级数。

部分分式分解：
$f(z) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{z-3} - \frac{1}{z-1} \right)$

圆环域 $ 1 < |z| < 3 $：
$\frac{1}{z-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n+1}}, \quad \frac{1}{z-3} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}}$
代入得：
$f(z) = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}} - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n}$

圆环域 $ 3 < |z| < +\infty $：
$\frac{1}{z-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n+1}}, \quad \frac{1}{z-3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{z^{n+1}}$
代入得：
$f(z) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n - 1}{z^{n+1}} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-1} - 1}{z^n}$

答案：
$\boxed{\begin{array}{ll}\text{在 } 1 < |z| < 3: & -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}} - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n} \\\text{在 } 3 < |z| < +\infty: & \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-1} - 1}{z^n} \quad \text{或} \quad \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n - 1}{z^{n+1}}\end{array}}$