题目
设随机变量X,Y的协方差为0，则X,Y之间关系为()A. 不相关B. 互不相容C. 相互独立D. 无法确定
设随机变量$X,Y$的协方差为$0$，则$X,Y$之间关系为()
A. 不相关
B. 互不相容
C. 相互独立
D. 无法确定
题目解答
答案
A. 不相关
解析
步骤 1：理解协方差的含义
协方差为零表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间无线性相关性，即不相关。协方差的定义为 $Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$，其中 $E[X]$ 和 $E[Y]$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的期望值。当协方差为零时，表示 $X$ 和 $Y$ 的线性关系为零，即 $X$ 的变化与 $Y$ 的变化没有线性关系。
步骤 2：区分不相关与独立
不相关仅表示无线性相关，但可能仍存在非线性关系。独立则要求无任何关系（包括非线性），协方差为零无法推导出独立性。因此，协方差为零只能说明 $X$ 和 $Y$ 不相关，但不能说明它们独立。
步骤 3：排除其他选项
互不相容适用于事件，而非随机变量关系。因此，选项 B 不适用。选项 D 无法确定，因为协方差为零已经给出了明确的不相关关系，所以选项 D 不正确。
协方差为零表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间无线性相关性，即不相关。协方差的定义为 $Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$，其中 $E[X]$ 和 $E[Y]$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的期望值。当协方差为零时，表示 $X$ 和 $Y$ 的线性关系为零，即 $X$ 的变化与 $Y$ 的变化没有线性关系。
步骤 2：区分不相关与独立
不相关仅表示无线性相关，但可能仍存在非线性关系。独立则要求无任何关系（包括非线性），协方差为零无法推导出独立性。因此，协方差为零只能说明 $X$ 和 $Y$ 不相关，但不能说明它们独立。
步骤 3：排除其他选项
互不相容适用于事件，而非随机变量关系。因此，选项 B 不适用。选项 D 无法确定，因为协方差为零已经给出了明确的不相关关系，所以选项 D 不正确。