题目
已知随机变量 X，Y 的方差 DX, DY 存在,且 DX neq 0, DY neq 0, E(XY)= (EX)(EY),则下列一定成立的是()A. X 与 Y 一定独立B. X 与 Y 一定不相关C. D(XY)= (DX)(DY)D. D(X-Y)= DX - DY
已知随机变量 $X$，$Y$ 的方差 $DX, DY$ 存在,且 $DX \neq 0, DY \neq 0, E(XY)= (EX)(EY)$,则下列一定成立的是()
A. $X$ 与 $Y$ 一定独立
B. $X$ 与 $Y$ 一定不相关
C. $D(XY)= (DX)(DY)$
D. $D(X-Y)= DX - DY$
题目解答
答案
B. $X$ 与 $Y$ 一定不相关
解析
步骤 1：理解已知条件
已知条件为 $E(XY) = (EX)(EY)$，这表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 的期望乘积等于它们乘积的期望。这可以用来推导协方差。
步骤 2：计算协方差
根据协方差的定义，$\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - (EX)(EY)$。由于已知 $E(XY) = (EX)(EY)$，代入后得到 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。这表明 $X$ 和 $Y$ 不相关。
步骤 3：分析选项
- **选项A**：协方差为零仅表示不相关，无法推导出独立性，排除。
- **选项B**：协方差为零，即不相关，成立。
- **选项C**：方差性质 $D(XY) = E(X^2Y^2) - [E(XY)]^2$，无法直接推导出 $D(XY) = (DX)(DY)$，排除。
- **选项D**：方差性质 $D(X-Y) = DX + DY - 2\text{Cov}(X, Y) = DX + DY$，与选项不符，排除。
已知条件为 $E(XY) = (EX)(EY)$，这表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 的期望乘积等于它们乘积的期望。这可以用来推导协方差。
步骤 2：计算协方差
根据协方差的定义，$\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - (EX)(EY)$。由于已知 $E(XY) = (EX)(EY)$，代入后得到 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。这表明 $X$ 和 $Y$ 不相关。
步骤 3：分析选项
- **选项A**：协方差为零仅表示不相关，无法推导出独立性，排除。
- **选项B**：协方差为零，即不相关，成立。
- **选项C**：方差性质 $D(XY) = E(X^2Y^2) - [E(XY)]^2$，无法直接推导出 $D(XY) = (DX)(DY)$，排除。
- **选项D**：方差性质 $D(X-Y) = DX + DY - 2\text{Cov}(X, Y) = DX + DY$，与选项不符，排除。