2.设总体 sim N(mu ,(sigma )^2) ,X1,X2,···,Xn是来自总体X的简单随机样本,其中μ未-|||-知,σ^2已知,试求:-|||-(1)X1,X2,···,X,的联合密度函数;(2)E(X),D(X )和E(S^2).

考查要点

1. 联合密度函数：独立正态样本的联合概率密度函数形式，需明确正态分布的参数及独立性。
2. 样本均值的性质：样本均值的期望与方差的计算，理解其无偏性和有效性。
3. 样本方差的无偏性：掌握样本方差的定义及无偏估计的证明。

解题核心思路

1. 联合密度函数：利用独立样本的联合密度为各密度函数乘积的性质，结合正态分布的密度形式。
2. 期望与方差：通过线性性质计算样本均值的期望和方差。
3. 无偏性证明：利用样本方差的定义及期望运算规则，验证其无偏性。

第（1）题

联合密度函数

1. 单个样本的密度函数
   总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其概率密度函数为：
   $f(x_i) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}}.$

2. 独立样本的联合密度
   由于样本独立，联合密度函数为各样本密度函数的乘积：
   $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}}.$

3. 化简表达式
   将乘积展开并整理指数部分：
   $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \left( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \right)^n e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2}.$

第（2）题

期望与方差的计算

1. 样本均值的期望
   $E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu.$

2. 样本均值的方差
   $D(\overline{X}) = D\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}.$

3. 样本方差的无偏性
   样本方差定义为 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，其期望为：
   $E(S^2) = E\left( \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right) = \sigma^2.$
   证明过程需展开平方项并利用 $E(\overline{X}) = \mu$，最终化简可得。