题目
6,设样本_(1),(X)_(2),(X)_(3)为独立同分布的标准正态随机变量,令_(1),(X)_(2),(X)_(3)则Y服从____ ;
6,设样本
为独立同分布的标准正态随机变量,令
则Y服从____ ;
题目解答
答案
根据题目给出的定义，我们有：
我们知道，如果 (X) 服从标准正态分布，那么
服从自由度为 1 的卡方分布。所以
都是自由度为 1 的卡方分布。
另外，由于 
是独立同分布的标准正态随机变量，所以它们的平方和
服从自由度为 2 的卡方分布，即自由度为 2 的卡方分布。
因此，(Y) 可以表示为标准正态随机变量 (X_1) 与自由度为 2 的卡方分布除以其自由度的平方根的比值。这其实是 t 分布，自由度为 1。
所以，根据定义，Y 服从自由度为 1 的 t 分布。
因此，答案是 t 分布，自由度为 1。
解析
步骤 1：确定 $X_1$ 的分布
$X_1$ 是一个标准正态随机变量，即 $X_1 \sim N(0,1)$。
步骤 2：确定 $X_2^2$ 和 $X_3^2$ 的分布
由于 $X_2$ 和 $X_3$ 也是标准正态随机变量，它们的平方 $X_2^2$ 和 $X_3^2$ 分别服从自由度为 1 的卡方分布，即 $X_2^2 \sim \chi^2(1)$ 和 $X_3^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：确定 $X_2^2 + X_3^2$ 的分布
由于 $X_2^2$ 和 $X_3^2$ 是独立的，它们的和 $X_2^2 + X_3^2$ 服从自由度为 2 的卡方分布，即 $X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(2)$。
步骤 4：确定 $Y$ 的分布
$Y$ 可以表示为 $Y = \dfrac{X_1}{\sqrt{\frac{X_2^2 + X_3^2}{2}}}$。由于 $X_1$ 是标准正态随机变量，而 $\sqrt{\frac{X_2^2 + X_3^2}{2}}$ 是自由度为 2 的卡方分布除以其自由度的平方根，所以 $Y$ 服从自由度为 1 的 t 分布。
$X_1$ 是一个标准正态随机变量，即 $X_1 \sim N(0,1)$。
步骤 2：确定 $X_2^2$ 和 $X_3^2$ 的分布
由于 $X_2$ 和 $X_3$ 也是标准正态随机变量，它们的平方 $X_2^2$ 和 $X_3^2$ 分别服从自由度为 1 的卡方分布，即 $X_2^2 \sim \chi^2(1)$ 和 $X_3^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：确定 $X_2^2 + X_3^2$ 的分布
由于 $X_2^2$ 和 $X_3^2$ 是独立的，它们的和 $X_2^2 + X_3^2$ 服从自由度为 2 的卡方分布，即 $X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(2)$。
步骤 4：确定 $Y$ 的分布
$Y$ 可以表示为 $Y = \dfrac{X_1}{\sqrt{\frac{X_2^2 + X_3^2}{2}}}$。由于 $X_1$ 是标准正态随机变量，而 $\sqrt{\frac{X_2^2 + X_3^2}{2}}$ 是自由度为 2 的卡方分布除以其自由度的平方根，所以 $Y$ 服从自由度为 1 的 t 分布。