题目

随机变量X服从自由度为n的卡方分布，那么它就可以看作n个独立同分布的标准正态分布随机变量Y_(1),...,Y_(n)的平方和，即可以看作X=sum_(i=1)^nY_(i)^2，由此我们不难分析，服从自由度为100的卡方分布随机变量X的期望等于____。

随机变量X服从自由度为n的卡方分布，那么它就可以看作n个独立同分布的标准正态分布随机变量$Y_{1},\cdots,Y_{n}$的平方和，即可以看作$X=\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}$，由此我们不难分析，服从自由度为100的卡方分布随机变量X的期望等于____。

题目解答

答案

根据卡方分布的性质，若随机变量 $X$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，则 $X$ 可表示为 $n$ 个独立标准正态变量的平方和。每个标准正态变量的平方期望为1（因为方差为1），由期望的线性性质得： \[ E(X) = n \times 1 = n. \] 对于自由度 $n=100$，期望为： \[ E(X) = 100. \] 或者直接利用卡方分布期望公式 $E(X) = n$，得期望为 $\boxed{100}$。

解析

卡方分布的期望是本题的核心考查点。题目给出自由度为100的卡方分布，需要计算其期望值。关键在于理解：

  1. 卡方分布的定义：它是独立标准正态变量平方和的形式；
  2. 期望的线性性质：平方和的期望等于各平方项期望之和；
  3. 标准正态变量平方的期望：由于标准正态变量的方差为1，其平方的期望为1。

通过以上分析，可直接得出结论：卡方分布的期望等于其自由度。

  1. 卡方分布的定义
    若随机变量 $X$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，则 $X$ 可表示为 $n$ 个独立标准正态变量的平方和：
    $X = Y_1^2 + Y_2^2 + \cdots + Y_n^2$
    其中 $Y_i \sim N(0,1)$。

  2. 计算期望
    根据期望的线性性质：
    $E(X) = E\left( \sum_{i=1}^{n} Y_i^2 \right) = \sum_{i=1}^{n} E(Y_i^2)$
    对于标准正态变量 $Y_i$，有 $E(Y_i) = 0$，方差 $D(Y_i) = E(Y_i^2) - [E(Y_i)]^2 = 1$，因此：
    $E(Y_i^2) = 1$
    代入得：
    $E(X) = \sum_{i=1}^{n} 1 = n$
    当自由度 $n = 100$ 时，期望为：
    $E(X) = 100$