题目
已知随机变量X服从泊松分布，Y服从指数分布，X，Y的相关系数为0.25，Z=X-2Y+2，Z=X-2Y+2，Z=X-2Y+21)=1-2e^-1" data-width="186" data-height="27" data-size="2213" data-format="png" style="">，则Z=X-2Y+2_______.
已知随机变量X服从泊松分布，Y服从指数分布，X，Y的相关系数为0.25，
，
，
1)=1-2e^{-1}" data-width="186" data-height="27" data-size="2213" data-format="png" style="">，则
_______.
题目解答
答案
设随机变量X服从参数为
的泊松分布，则X的分布律为
，则
1)=1-P\left(X=0\right)-P\left(X=1\right)" data-width="347" data-height="25" data-size="3972" data-format="png" style="">
，则
，则
，设Y服从参数为的指数分布，则
，则
，则
，则
，X，Y的相关系数
，则X与Y的协方差为
，则
.
解析
步骤 1：确定泊松分布参数
已知随机变量X服从泊松分布，且$P(X\gt 1)=1-2{e}^{-1}$1)=1-2e^{-1}" data-width="186" data-height="27" data-size="2213" data-format="png" style="">。根据泊松分布的性质，$P(X\gt 1)=1-P(X=0)-P(X=1)$1)=1-P\left(X=0\right)-P\left(X=1\right)" data-width="347" data-height="25" data-size="3972" data-format="png" style="">。将泊松分布的概率公式代入，得到$1-\dfrac {{\lambda }^{0}}{0!}{e}^{-\lambda }-\dfrac {\lambda }{1!}{e}^{-\lambda }=1-2{e}^{-1}$，解得$\lambda =1$。
步骤 2：确定指数分布参数
已知随机变量Y服从指数分布，且X，Y的相关系数为0.25。根据指数分布的性质，$E(Y)=\dfrac {1}{\lambda }$。根据相关系数的定义，$COO(X,Y)=\rho _{XY}\sqrt {DX}\sqrt {DY}$，其中$\rho _{XY}=0.25$，$DX=1$，$DY=\dfrac {1}{{\lambda }^{2}}$。将已知条件代入，得到$COO(X,Y)=0.25\times \sqrt {1}\times \sqrt {4}=\dfrac {1}{2}$，解得$\lambda =\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：计算Z的期望和方差
已知$Z=X-2Y+2$，则$E(Z)=E(X-2Y+2)=E(X)-2E(Y)+2$。将已知条件代入，得到$E(Z)=1-\dfrac {2}{\lambda }+2=3-\dfrac {2}{\lambda }=-1$。则$D(Z)=D(X-2Y+2)=D(X-2Y)+D(2)+2Cow(X-2X,2)=D(X)+4D(Y)-4Coo(X,Y)$。将已知条件代入，得到$D(Z)=1+4\times 4-4\times \dfrac {1}{2}=15$。
已知随机变量X服从泊松分布，且$P(X\gt 1)=1-2{e}^{-1}$1)=1-2e^{-1}" data-width="186" data-height="27" data-size="2213" data-format="png" style="">。根据泊松分布的性质，$P(X\gt 1)=1-P(X=0)-P(X=1)$1)=1-P\left(X=0\right)-P\left(X=1\right)" data-width="347" data-height="25" data-size="3972" data-format="png" style="">。将泊松分布的概率公式代入，得到$1-\dfrac {{\lambda }^{0}}{0!}{e}^{-\lambda }-\dfrac {\lambda }{1!}{e}^{-\lambda }=1-2{e}^{-1}$，解得$\lambda =1$。
步骤 2：确定指数分布参数
已知随机变量Y服从指数分布，且X，Y的相关系数为0.25。根据指数分布的性质，$E(Y)=\dfrac {1}{\lambda }$。根据相关系数的定义，$COO(X,Y)=\rho _{XY}\sqrt {DX}\sqrt {DY}$，其中$\rho _{XY}=0.25$，$DX=1$，$DY=\dfrac {1}{{\lambda }^{2}}$。将已知条件代入，得到$COO(X,Y)=0.25\times \sqrt {1}\times \sqrt {4}=\dfrac {1}{2}$，解得$\lambda =\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：计算Z的期望和方差
已知$Z=X-2Y+2$，则$E(Z)=E(X-2Y+2)=E(X)-2E(Y)+2$。将已知条件代入，得到$E(Z)=1-\dfrac {2}{\lambda }+2=3-\dfrac {2}{\lambda }=-1$。则$D(Z)=D(X-2Y+2)=D(X-2Y)+D(2)+2Cow(X-2X,2)=D(X)+4D(Y)-4Coo(X,Y)$。将已知条件代入，得到$D(Z)=1+4\times 4-4\times \dfrac {1}{2}=15$。