题目
已知某商店每周销售的空气净化器台数X服从参数8的泊松分布,试问,每周周期需多少或进货多少才能保证该周不脱销的概率不小于0.9(假定上周没有库存,且本周不再进货)
已知某商店每周销售的空气净化器台数X服从参数8的泊松分布,试问,每周周期需多少或进货多少才能保证该周不脱销的概率不小于0.9(假定上周没有库存,且本周不再进货)
题目解答
答案
泊松分布的概率公式：
若
服从参数为
的泊松分布，则
.
然后设每周需进货
台才能保证该周不脱销的概率不小于0.9. 已知空气净化器台数服从参数8的泊松分布，即
，那么
.
先求
，即
.
通过试值法，当
时，
.
故每周需进货11台才能保证该周不脱销的概率不小于
.
解析
步骤 1：理解泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间内发生事件的次数。其概率质量函数为$P(X=k)=\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中$\lambda$是事件发生的平均次数，$k$是事件发生的次数。
步骤 2：确定问题
问题要求每周需进货多少台空气净化器，才能保证该周不脱销的概率不小于0.9。已知每周销售的空气净化器台数X服从参数$\lambda=8$的泊松分布，即$P(X=k)=\dfrac {{8}^{k}{e}^{-8}}{k!}$。
步骤 3：计算不脱销的概率
不脱销的概率即为每周销售的空气净化器台数不超过进货台数的概率。设每周需进货$n$台空气净化器，那么不脱销的概率为$P(X\leqslant n)=\sum _{k=0}^{n}\dfrac {{8}^{k}{e}^{-8}}{k!}$。我们需要找到最小的$n$，使得$P(X\leqslant n)\geqslant 0.9$。
步骤 4：试值法求解
通过试值法，计算不同$n$值下的$P(X\leqslant n)$，直到找到满足条件的最小$n$值。
- 当$n=10$时，$P(X\leqslant 10)=\sum _{k=0}^{10}\dfrac {{8}^{k}{e}^{-8}}{k!}\approx 0.8893$，不满足条件。
- 当$n=11$时，$P(X\leqslant 11)=\sum _{k=0}^{11}\dfrac {{8}^{k}{e}^{-8}}{k!}\approx 0.9004$，满足条件。
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间内发生事件的次数。其概率质量函数为$P(X=k)=\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中$\lambda$是事件发生的平均次数，$k$是事件发生的次数。
步骤 2：确定问题
问题要求每周需进货多少台空气净化器，才能保证该周不脱销的概率不小于0.9。已知每周销售的空气净化器台数X服从参数$\lambda=8$的泊松分布，即$P(X=k)=\dfrac {{8}^{k}{e}^{-8}}{k!}$。
步骤 3：计算不脱销的概率
不脱销的概率即为每周销售的空气净化器台数不超过进货台数的概率。设每周需进货$n$台空气净化器，那么不脱销的概率为$P(X\leqslant n)=\sum _{k=0}^{n}\dfrac {{8}^{k}{e}^{-8}}{k!}$。我们需要找到最小的$n$，使得$P(X\leqslant n)\geqslant 0.9$。
步骤 4：试值法求解
通过试值法，计算不同$n$值下的$P(X\leqslant n)$，直到找到满足条件的最小$n$值。
- 当$n=10$时，$P(X\leqslant 10)=\sum _{k=0}^{10}\dfrac {{8}^{k}{e}^{-8}}{k!}\approx 0.8893$，不满足条件。
- 当$n=11$时，$P(X\leqslant 11)=\sum _{k=0}^{11}\dfrac {{8}^{k}{e}^{-8}}{k!}\approx 0.9004$，满足条件。