题目

设 3 阶矩阵 A=(alpha, gamma_1, gamma_2)，B=(beta, gamma_1, gamma_2)，且 |A|=2，|B|=3，则 |A-B|= _____________.

设 3 阶矩阵 $A=(\alpha, \gamma_1, \gamma_2)$，$B=(\beta, \gamma_1, \gamma_2)$，且 $|A|=2$，$|B|=3$，则 $|A-B|=$ _____________.

题目解答

答案

设 $ A = (\alpha, \gamma_1, \gamma_2) $，$ B = (\beta, \gamma_1, \gamma_2) $，则
$A - B = (\alpha - \beta, \gamma_1 - \gamma_1, \gamma_2 - \gamma_2) = (\alpha - \beta, 0, 0).$
矩阵 $ A - B $ 的第二列和第三列均为零向量，根据行列式性质，若矩阵有一列全为零，则行列式为零。
因此，$ |A - B| = 0 $。

答案： $\boxed{0}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的行列式性质，特别是当矩阵存在全零列时行列式的值。

解题核心思路：
通过观察矩阵$A$和$B$的结构，发现它们的第二列和第三列完全相同。因此，矩阵$A-B$的第二列和第三列均为零向量。根据行列式的性质，若矩阵有一列全为零，则行列式为零，无需计算具体展开式即可直接得出结果。

破题关键点：

  1. 矩阵相减的列操作：明确$A-B$的列结构。
  2. 行列式的零列性质：直接利用行列式的性质简化计算。

  1. 构造矩阵$A-B$：
    根据题意，矩阵$A$和$B$的第二列、第三列相同，因此：
    $A - B = (\alpha - \beta, \gamma_1 - \gamma_1, \gamma_2 - \gamma_2) = (\alpha - \beta, 0, 0)$
    其中，第二列和第三列均为零向量。

  2. 应用行列式性质：
    矩阵$A-B$的第二列和第三列全为零，根据行列式的性质，若矩阵存在至少一列全零，则行列式值为零。因此：
    $|A - B| = 0$