题目
10.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X_(1),X_(2),...,X_(n)为该总体X的一个样本，证明：样本均值overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)是λ的无偏估计量.
10.设总体X服从参数为λ的泊松分布，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为该总体X的一个样本，证明：样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$是λ的无偏估计量.
题目解答
答案
为了证明样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$是参数$\lambda$的无偏估计量，我们需要证明$\overline{X}$的期望值等于$\lambda$。也就是说，我们需要证明$E(\overline{X}) = \lambda$。
让我们从表达$\overline{X}$的期望值开始：
\[
E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right).
\]
利用期望的线性性质，我们可以将期望值分配到求和中：
\[
E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i).
\]
由于$X_1, X_2, \ldots, X_n$是来自参数为$\lambda$的泊松分布的样本，每个$X_i$的期望值为$\lambda$。因此，我们有：
\[
E(X_i) = \lambda \quad \text{对于所有} \quad i = 1, 2, \ldots, n.
\]
将此代入期望值的表达式中，我们得到：
\[
E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lambda.
\]
求和$\sum_{i=1}^{n} \lambda$仅仅是$\lambda$加了$n$次，所以它等于$n\lambda$。因此，我们有：
\[
E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \cdot n\lambda = \lambda.
\]
由于$E(\overline{X}) = \lambda$，我们得出结论，样本均值$\overline{X}$是$\lambda$的无偏估计量。
最终答案是：
\[
\boxed{\overline{X} \text{是} \lambda \text{的无偏估计量}}
\]
解析
步骤 1：定义样本均值
样本均值$\overline{X}$定义为所有样本值的平均值，即$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，其中$X_i$是第$i$个样本值，$n$是样本的大小。
步骤 2：计算样本均值的期望值
为了证明$\overline{X}$是$\lambda$的无偏估计量，我们需要证明$E(\overline{X}) = \lambda$。首先，我们计算$\overline{X}$的期望值：\[ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right). \]
步骤 3：利用期望的线性性质
利用期望的线性性质，我们可以将期望值分配到求和中：\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i). \]
步骤 4：计算每个样本值的期望值
由于$X_1, X_2, \ldots, X_n$是来自参数为$\lambda$的泊松分布的样本，每个$X_i$的期望值为$\lambda$。因此，我们有：\[ E(X_i) = \lambda \quad \text{对于所有} \quad i = 1, 2, \ldots, n. \]
步骤 5：代入期望值
将每个$X_i$的期望值代入期望值的表达式中，我们得到：\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lambda. \]
步骤 6：简化表达式
求和$\sum_{i=1}^{n} \lambda$仅仅是$\lambda$加了$n$次，所以它等于$n\lambda$。因此，我们有：\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \cdot n\lambda = \lambda. \]
步骤 7：得出结论
由于$E(\overline{X}) = \lambda$，我们得出结论，样本均值$\overline{X}$是$\lambda$的无偏估计量。
样本均值$\overline{X}$定义为所有样本值的平均值，即$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，其中$X_i$是第$i$个样本值，$n$是样本的大小。
步骤 2：计算样本均值的期望值
为了证明$\overline{X}$是$\lambda$的无偏估计量，我们需要证明$E(\overline{X}) = \lambda$。首先，我们计算$\overline{X}$的期望值：\[ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right). \]
步骤 3：利用期望的线性性质
利用期望的线性性质，我们可以将期望值分配到求和中：\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i). \]
步骤 4：计算每个样本值的期望值
由于$X_1, X_2, \ldots, X_n$是来自参数为$\lambda$的泊松分布的样本，每个$X_i$的期望值为$\lambda$。因此，我们有：\[ E(X_i) = \lambda \quad \text{对于所有} \quad i = 1, 2, \ldots, n. \]
步骤 5：代入期望值
将每个$X_i$的期望值代入期望值的表达式中，我们得到：\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lambda. \]
步骤 6：简化表达式
求和$\sum_{i=1}^{n} \lambda$仅仅是$\lambda$加了$n$次，所以它等于$n\lambda$。因此，我们有：\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \cdot n\lambda = \lambda. \]
步骤 7：得出结论
由于$E(\overline{X}) = \lambda$，我们得出结论，样本均值$\overline{X}$是$\lambda$的无偏估计量。