题目
设xi sim N(0,1)，且有Phi(1.96)=0.975，则P|xi| >1.96=(）.A. 0.75B. 0.05C. 0.01D. 0.025
设$\xi \sim N(0,1)$，且有$\Phi(1.96)=0.975$，则$P\{|\xi| >1.96\}=$(）.
A. 0.75
B. 0.05
C. 0.01
D. 0.025
题目解答
答案
B. 0.05
解析
步骤 1：理解标准正态分布
标准正态分布是一个均值为0，标准差为1的正态分布，通常用 $ t \sim N(0,1) $ 表示。题目中给出 $ \Phi(1.96) = 0.975 $，其中 $ \Phi $ 是标准正态分布的累积分布函数。这意味着 $ P(t \leq 1.96) = 0.975 $。
步骤 2：分解绝对值不等式
我们需要求 $ P(\mid \xi \mid > 1.96) $。由于 $ \xi $ 也服从标准正态分布 $ N(0,1) $，我们可以将 $ \xi $ 替换为 $ t $。因此，我们需要求 $ P(\mid t \mid > 1.96) $。绝对值不等式 $ \mid t \mid > 1.96 $ 可以分解为两个不等式： \[ t > 1.96 \quad \text{或} \quad t < -1.96 \] 因此，我们有： \[ P(\mid t \mid > 1.96) = P(t > 1.96) + P(t < -1.96) \]
步骤 3：利用对称性简化计算
由于标准正态分布是关于0对称的，所以 $ P(t < -1.96) = P(t > 1.96) $。因此： \[ P(\mid t \mid > 1.96) = 2P(t > 1.96) \] 我们已经知道 $ P(t \leq 1.96) = 0.975 $，所以： \[ P(t > 1.96) = 1 - P(t \leq 1.96) = 1 - 0.975 = 0.025 \] 因此： \[ P(\mid t \mid > 1.96) = 2 \times 0.025 = 0.05 \]
标准正态分布是一个均值为0，标准差为1的正态分布，通常用 $ t \sim N(0,1) $ 表示。题目中给出 $ \Phi(1.96) = 0.975 $，其中 $ \Phi $ 是标准正态分布的累积分布函数。这意味着 $ P(t \leq 1.96) = 0.975 $。
步骤 2：分解绝对值不等式
我们需要求 $ P(\mid \xi \mid > 1.96) $。由于 $ \xi $ 也服从标准正态分布 $ N(0,1) $，我们可以将 $ \xi $ 替换为 $ t $。因此，我们需要求 $ P(\mid t \mid > 1.96) $。绝对值不等式 $ \mid t \mid > 1.96 $ 可以分解为两个不等式： \[ t > 1.96 \quad \text{或} \quad t < -1.96 \] 因此，我们有： \[ P(\mid t \mid > 1.96) = P(t > 1.96) + P(t < -1.96) \]
步骤 3：利用对称性简化计算
由于标准正态分布是关于0对称的，所以 $ P(t < -1.96) = P(t > 1.96) $。因此： \[ P(\mid t \mid > 1.96) = 2P(t > 1.96) \] 我们已经知道 $ P(t \leq 1.96) = 0.975 $，所以： \[ P(t > 1.96) = 1 - P(t \leq 1.96) = 1 - 0.975 = 0.025 \] 因此： \[ P(\mid t \mid > 1.96) = 2 \times 0.025 = 0.05 \]