13.设随机变量 sim N(mu ,(sigma )^2), 求 =(e)^x 的数学期望与方差.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查随机变量函数的分布以及对数正态分布的性质。需要掌握概率密度函数的变量变换方法，以及利用矩母函数或直接积分计算期望和方差的能力。
解题核心思路：
- 确定Y的概率密度函数：通过变量变换公式，将X的正态分布转换为Y=e^X的对数正态分布。
- 计算数学期望：利用正态分布的矩母函数直接求解E(Y)=E(e^X)，或通过积分计算。
- 计算方差：利用Var(Y)=E(Y²)−[E(Y)]²，结合矩母函数或对数正态分布的方差公式。
破题关键点：
- 变量变换公式：正确应用概率密度函数的变量变换，注意雅可比行列式的处理。
- 矩母函数的应用：正态分布的矩母函数为M_X(t)=exp(μt + (σ²t²)/2)，代入t=1和t=2可快速求得E(Y)和E(Y²)。
1. 求Y的概率密度函数
设Y=e^X，则X=lnY。根据概率密度函数的变量变换公式：
$p_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \left| \frac{d}{dy} (\ln y) \right| = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(\ln y - \mu)^2}{2\sigma^2} \right), \quad y > 0.$
2. 计算数学期望E(Y)
利用正态分布的矩母函数：
$M_X(t) = E(e^{tX}) = \exp\left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right).$
令t=1，得：
$E(Y) = E(e^X) = M_X(1) = \exp\left( \mu + \frac{\sigma^2}{2} \right).$
3. 计算方差Var(Y)
首先计算E(Y²)：
$E(Y^2) = E(e^{2X}) = M_X(2) = \exp\left( 2\mu + 2\sigma^2 \right).$
然后方差为：
$\begin{aligned}\text{Var}(Y) &= E(Y^2) - [E(Y)]^2 \\&= \exp\left( 2\mu + 2\sigma^2 \right) - \exp\left( 2\mu + \sigma^2 \right) \\&= \exp\left( 2\mu + \sigma^2 \right) \left( \exp(\sigma^2) - 1 \right).\end{aligned}$