3.掷一枚均匀硬币两次，设X表示第一次掷出正面的次数，Y表示这两次掷出正面的次数.试求：(X,Y)的联合分布律和边缘分布律，并判断X与Y是否独立?

**联合分布律：** | | $Y=0$ | $Y=1$ | $Y=2$ | |---|------|------|------| | $X=0$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $0$ | | $X=1$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | **边缘分布律：** - $X$ 的边缘分布：$P(X=0)=\frac{1}{2}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$ - $Y$ 的边缘分布：$P(Y=0)=\frac{1}{4}$，$P(Y=1)=\frac{1}{2}$，$P(Y=2)=\frac{1}{4}$ **独立性判断：** 由于 $P(X=0,Y=0)=\frac{1}{4} \neq P(X=0) \cdot P(Y=0) = \frac{1}{8}$，故 $X$ 和 $Y$ 不独立。 **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{c|ccc} & Y=0 & Y=1 & Y=2 \\ \hline X=0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ X=1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \end{array} } \] \[ \boxed{ \begin{array}{c|c} X & 0 & 1 \\ \hline P & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} } \] \[ \boxed{ \begin{array}{c|c} Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \end{array} } \] \[ \boxed{\text{$X$ 和 $Y$ 不独立}} \]