30.（2.5分）设随机变量X~N(0,1),则分布函数值Φ(0)=0.5.A. 对B. 错

本题考查正态分布的性质以及标准标准正态分布函数值的计算。解题思路是依据标准正态分布的概率密度函数的对称性来确定$\varPhi(0)$的值。

1. 首先明确标准正态分布的概率密度函数$\varphi(x)$的表达式：
   • 若随机变量$X\sim N(0,1)$，其概率密度函数为$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\}}$，x\in R)。
   • 可以发现$\varphi(x)$是一个偶函数，即$\varphi(-x)=\varphi(x)\(x$，这意味着概率密度函数的图像关于$y$轴对称。
2. 然后根据分布函数的定义：
   • 分布函数$\varPhi(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)dt$，那么$\varPhi(0)=P(X\leq0)=\int_{-\infty}^{0}\varphi(t)dt$。
   • 由于$\(\varphi(x)$的图像关于$y$轴对称，那么$\int_{-\infty}^{0}\varphi(t)dt$表示的是$y = \varphi(x)$与$x$轴在$(-\infty,0]$上所围成的面积，$\int_{0}^{+\infty}\varphi(t)dt$表示的是$y = \varphi(x)$与$x$轴在$[0,+\infty)$上所围成面积，且$\int_{-\infty}^{+\infty}\用于$于)概率密度函数图像关于$y$轴对称时，$\int_{-\infty}^{0}\varphi(t)dt=\int_{0^{+\infty}\varphi(t)dt$。
   • 又因为$\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(t)dt = 1$，即整个概率密度函数曲线与$x$轴所围成的总面积为$1$，也就是$\(\int_{-\infty}^{0}\varphi(t)dt+\int_{0}^{+\infty}\varphi(t)dt = 1$。
   • 把$\int_{-\infty}^{0}\varphi(t)dt=\int_{0}^{+\infty}\varphi(t)dt$代入上式，可得$2\int_{-\infty}^{0}\varphi(t)dt = 1$，那么$\int_{-\infty}^{0}\varphi(t)dt=\frac{1}{2}=0.5$，即$\varPhi(0)=0.5$。