设 A=} A_1 & & & & A_2 & & & & ddots & & & & A_s

本题考查分块对角矩阵的逆矩阵的求解。解题思路是根据逆矩阵的定义，若矩阵$A$与矩阵$B$满足$AB = BA = E$（$E$为单位矩阵），则$B$是$A$的逆矩阵，记为$A^{-1}$。我们需要验证选项中的矩阵与已知矩阵$A$相乘是否满足逆矩阵的定义。

设$B = \begin{bmatrix} A_1^{-1} & & & \\ & A_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s^{-1} \end{bmatrix}$，计算$AB$：
根据的矩阵矩阵乘法规则是，对于分块对角矩阵相乘，只需对应对角线上的分块矩阵相乘。
$AB=\begin{bmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_1^{-1} & & & \\ & A_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s^{-1} \end{bmatrix}$
根据分块矩阵乘法规则，$AB$的$(i,j)$块元素为$A_iA_j^{-1}$（当$i = j$时），$0$（当$i\neq j$时）。
所以$AB=\begin{bmatrix} A_1A_1^{-1} & & & \\ & A_2A_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_sA_s^{-1} \end{bmatrix}$
因为$A_iA_i^{-1}=E_i$（$E_i$为与$A_i$同阶的单位矩阵），所以$AB=\begin{bmatrix} E_1 & & & \\ & E_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & E_s \end{bmatrix}=E$（$E$为与$A$同阶的单位矩阵）。
同理可证$BA = E$。
根据逆矩阵的定义可知$B$是$A$的逆矩阵，即$A^{-1}=\begin{bmatrix} A_1^{-1} & & & \\ & A_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s^{-1} \end{bmatrix}$。