题目
2.设某校学生的身高(单位:cm)服从N(θ,5^2),今从该校学生中随机抽-|||-取10人测量其身高,其平均高度为175.34 cm,设平均高度θ的先验分布为-|||-N(172.72,2.56),求θ的后验分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定先验分布和似然函数
先验分布为 N(172.72, 2.56)，即 θ ~ N(μ_0, σ_0^2)，其中 μ_0 = 172.72, σ_0^2 = 2.56。
似然函数为 N(θ, 5^2)，即样本均值 x̄ ~ N(θ, σ^2/n)，其中 σ^2 = 5^2, n = 10, x̄ = 175.34。
步骤 2：计算后验分布的均值和方差
后验分布的均值 μ_posterior = (σ^2/n * μ_0 + σ_0^2 * x̄) / (σ^2/n + σ_0^2)
后验分布的方差 σ_posterior^2 = (σ^2/n * σ_0^2) / (σ^2/n + σ_0^2)
步骤 3：代入数值计算
μ_posterior = (5^2/10 * 172.72 + 2.56 * 175.34) / (5^2/10 + 2.56) = (25/10 * 172.72 + 2.56 * 175.34) / (25/10 + 2.56) = (431.8 + 448.8704) / (2.5 + 2.56) = 880.6704 / 5.06 = 174.05
σ_posterior^2 = (5^2/10 * 2.56) / (5^2/10 + 2.56) = (25/10 * 2.56) / (25/10 + 2.56) = (6.4) / (5.06) = 1.265
先验分布为 N(172.72, 2.56)，即 θ ~ N(μ_0, σ_0^2)，其中 μ_0 = 172.72, σ_0^2 = 2.56。
似然函数为 N(θ, 5^2)，即样本均值 x̄ ~ N(θ, σ^2/n)，其中 σ^2 = 5^2, n = 10, x̄ = 175.34。
步骤 2：计算后验分布的均值和方差
后验分布的均值 μ_posterior = (σ^2/n * μ_0 + σ_0^2 * x̄) / (σ^2/n + σ_0^2)
后验分布的方差 σ_posterior^2 = (σ^2/n * σ_0^2) / (σ^2/n + σ_0^2)
步骤 3：代入数值计算
μ_posterior = (5^2/10 * 172.72 + 2.56 * 175.34) / (5^2/10 + 2.56) = (25/10 * 172.72 + 2.56 * 175.34) / (25/10 + 2.56) = (431.8 + 448.8704) / (2.5 + 2.56) = 880.6704 / 5.06 = 174.05
σ_posterior^2 = (5^2/10 * 2.56) / (5^2/10 + 2.56) = (25/10 * 2.56) / (25/10 + 2.56) = (6.4) / (5.06) = 1.265