题目
8.3 某地区小麦的一般生产水平为亩产250千克，其标准差为30千克。现用一种化肥进行试验从25个地块抽样.平均亩产量为270千克。这种化肥是否使小麦明显增产(alpha=0.05)?
8.3 某地区小麦的一般生产水平为亩产250千克，其标准差为30千克。现用一种化肥进行试验从25个地块抽样.平均亩产量为270千克。这种化肥是否使小麦明显增产($\alpha=0.05$)?
题目解答
答案
**解：**
1. **建立假设：**
$H_0: \mu \leq 250$（无显著增产），$H_1: \mu > 250$（显著增产）。
2. **计算Z统计量：**
\[
Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{270 - 250}{30 / \sqrt{25}} = 3.33
\]
3. **确定临界值：**
对于$\alpha = 0.05$，单侧检验的临界值$Z_{0.05} = 1.645$。
4. **比较并结论：**
$Z = 3.33 > Z_{0.05} = 1.645$，拒绝$H_0$。
或P值$\approx 0.00043 < 0.05$，同样拒绝$H_0$。
**答案：**
\[
\boxed{\text{这种化肥使小麦明显增产。}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查单总体均值的Z检验在实际问题中的应用，涉及假设检验的基本步骤、显著性水平的判断以及统计结论的推导。
解题核心思路：
- 建立假设：根据题意确定原假设（无显著增产）和备择假设（显著增产）。
- 计算检验统计量：利用样本均值、总体标准差和样本量计算Z值。
- 确定临界值或P值：根据显著性水平$\alpha=0.05$和单侧检验性质，找到临界值或计算P值。
- 比较与结论：通过统计量与临界值的比较或P值与$\alpha$的比较，判断是否拒绝原假设。
破题关键点：
- 单侧检验的选择：题目要求判断“是否明显增产”，需采用单侧检验（右侧）。
- Z检验的适用条件：总体标准差已知时，无论样本量大小，均适用Z检验。
建立假设
- 原假设：$H_0: \mu \leq 250$（化肥未显著增产）
- 备择假设：$H_1: \mu > 250$（化肥显著增产）
计算Z统计量
公式为：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
代入数据：
$Z = \frac{270 - 250}{30 / \sqrt{25}} = \frac{20}{6} \approx 3.33$
确定临界值
单侧检验$\alpha=0.05$对应的临界值为：
$Z_{0.05} = 1.645$
比较与结论
- 统计量比较：$Z = 3.33 > Z_{0.05} = 1.645$，拒绝$H_0$。
- P值法：对应右侧概率$P \approx 0.00043 < 0.05$，同样拒绝$H_0$。