题目
设f(x)在f(x)上连续, 在f(x)内可导, 且f(x) , 证明: 存在一点f(x)，使得f(x)成立.
设
在
上连续, 在
内可导, 且
, 证明: 存在一点
，使得
成立.
题目解答
答案
证明：已知在上连续, 在内可导, 且 ,
可先将转化为
，即
，
即
，
可构造辅助函数
，
则
，
，
即
，
由罗尔中值定理可得，存在一点，使得
成立，即。
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数$F(x)=\tan x\cdot f(x)$，这样可以将原问题转化为求$F(x)$的导数在某点为0的问题。
步骤 2：验证辅助函数的条件
验证$F(x)$在$[0,\dfrac{\pi}{4}]$上连续，在$(0,\dfrac{\pi}{4})$内可导，且$F(0)=0$，$F(\dfrac{\pi}{4})=0$。
步骤 3：应用罗尔中值定理
根据罗尔中值定理，如果函数$F(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$F(a)=F(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$F'(\xi)=0$。
步骤 4：求导并验证
求$F(x)$的导数$F'(x)$，并验证$F'(\xi)=0$时，原问题的等式成立。
构造辅助函数$F(x)=\tan x\cdot f(x)$，这样可以将原问题转化为求$F(x)$的导数在某点为0的问题。
步骤 2：验证辅助函数的条件
验证$F(x)$在$[0,\dfrac{\pi}{4}]$上连续，在$(0,\dfrac{\pi}{4})$内可导，且$F(0)=0$，$F(\dfrac{\pi}{4})=0$。
步骤 3：应用罗尔中值定理
根据罗尔中值定理，如果函数$F(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$F(a)=F(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$F'(\xi)=0$。
步骤 4：求导并验证
求$F(x)$的导数$F'(x)$，并验证$F'(\xi)=0$时，原问题的等式成立。