题目

若向量组A:alpha_(1),alpha_(2),...,alpha_(r)可由向量组B:beta_(1),beta_(2),...,beta_(s)线性表示，则（）A r≤s;B A的秩≤B的秩C r≥s;D A的秩≥B的秩

若向量组$A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$可由向量组$B:\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$线性表示，则（） A r≤s; B A的秩≤B的秩 C r≥s; D A的秩≥B的秩

题目解答

为了确定正确答案，让我们逐步分析给定的条件和向量组的性质。

理解问题：
- 向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 可以由向量组 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 线性表示。这意味着 $A$ 中的每个向量都可以写成 $B$ 中向量的线性组合。
向量组的秩：
- 向量组的秩是向量组中线性无关向量的最大数量。如果一个向量组可以由另一个向量组线性表示，那么前一个向量组的秩不能大于后一个向量组的秩。这是因为后一个向量组可以生成前一个向量组，因此后一个向量组的秩至少与前一个向量组的秩一样大。
分析选项：
- 选项A: $r \leq s$
  - 这个选项不一定正确。向量组 $A$ 中的向量数量可以大于向量组 $B$ 中的向量数量，但 $A$ 的秩仍然可以小于或等于 $B$ 的秩。例如，如果 $A$ 包含线性相关的向量，那么 $A$ 的秩可以小于 $r$。
- 选项B: $A$ 的秩 $\leq B$ 的秩
  - 这个选项是正确的。如果 $A$ 可以由 $B$ 线性表示，那么 $A$ 的秩不能大于 $B$ 的秩。
- 选项C: $r \geq s$
  - 这个选项不一定正确。向量组 $A$ 中的向量数量可以小于向量组 $B$ 中的向量数量，但 $A$ 的秩仍然可以小于或等于 $B$ 的秩。
- 选项D: $A$ 的秩 $\geq B$ 的秩
  - 这个选项是不正确的。如果 $A$ 可以由 $B$ 线性表示，那么 $A$ 的秩不能大于 $B$ 的秩。
结论：
- 正确答案是选项B: $A$ 的秩 $\leq B$ 的秩。

因此，答案是 $\boxed{B}$。