题目
516 已知随机变量X与Y相互独立且都服从正态分布 (mu ,dfrac (1)(2)), 如果 X+Yleqslant 1 =dfrac (1)(2),-|||-则μ等于-|||-(A) -1. (B)0. (C) dfrac (1)(2) (D)1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定X+Y的分布
由于X和Y都是独立的正态分布随机变量，且都服从 $N(\mu, \dfrac{1}{2})$，则它们的和X+Y也服从正态分布。根据正态分布的性质，两个独立正态分布的和的均值等于它们均值的和，方差等于它们方差的和。因此，X+Y的分布为 $N(2\mu, 1)$。
步骤 2：利用正态分布的对称性
由于正态分布的概率密度函数是对称的，对于正态分布 $N(2\mu, 1)$，其均值为2μ，中位数也是2μ。因此，$P\{X+Y \leq 2\mu\} = \dfrac{1}{2}$。
步骤 3：根据题目条件求解μ
题目条件给出 $P\{X+Y \leq 1\} = \dfrac{1}{2}$，结合步骤2的结论，可以得出 $2\mu = 1$，从而解得 $\mu = \dfrac{1}{2}$。
由于X和Y都是独立的正态分布随机变量，且都服从 $N(\mu, \dfrac{1}{2})$，则它们的和X+Y也服从正态分布。根据正态分布的性质，两个独立正态分布的和的均值等于它们均值的和，方差等于它们方差的和。因此，X+Y的分布为 $N(2\mu, 1)$。
步骤 2：利用正态分布的对称性
由于正态分布的概率密度函数是对称的，对于正态分布 $N(2\mu, 1)$，其均值为2μ，中位数也是2μ。因此，$P\{X+Y \leq 2\mu\} = \dfrac{1}{2}$。
步骤 3：根据题目条件求解μ
题目条件给出 $P\{X+Y \leq 1\} = \dfrac{1}{2}$，结合步骤2的结论，可以得出 $2\mu = 1$，从而解得 $\mu = \dfrac{1}{2}$。