题目
习题3.4 什么是正态分布?什么是标准正态分布?正态分布曲线有什么特点?μ-|||-和σ对正态分布曲线有何影响?
题目解答
答案
解析
步骤 1：正态分布的定义
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中 $\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是分布的标准差。正态分布的特征是大多数变量围绕在平均数左右，由平均数到分布的两侧，变量数减少，即中间多，两头少，两侧对称。
步骤 2：标准正态分布的定义
$\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$ 的正态分布称为标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$。
步骤 3：正态分布曲线的特点
①正态分布曲线是以平均数 $\mu$ 为峰值的曲线，当 $x = \mu$ 时，$f(x)$ 取最大值 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$；
②正态分布是以 $\mu$ 为中心向左右两侧对称的分布；
③$\frac{x-\mu}{\sigma}$ 的绝对值越大，$f(x)$ 值就越小，但 $f(x)$ 永远不会等于 0，所以正态分布以 x 轴为渐近线，x 的取值区间为 $(-\infty, +\infty)$；
④正态分布曲线完全由参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 来决定；
⑤正态分布曲线在 $x = \mu \pm \sigma$ 处各有一个拐点；
⑥正态分布曲线与 x 轴所围成的全部面积必定等于 1。
步骤 4：μ 和 σ 对正态分布曲线的影响
正态分布具有两个参数 $\mu$ 和 $\sigma$。$\mu$ 确定正态分布曲线在 x 轴上的中心位置，$\mu$ 减小，曲线左移，$\mu$ 增大，曲线右移；$\sigma$ 确定正态分布曲线的展开程度，$\sigma$ 越小，曲线展开程度越小，曲线越陡高，$\sigma$ 越大，曲线展开程度越大，曲线越矮宽。
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中 $\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是分布的标准差。正态分布的特征是大多数变量围绕在平均数左右，由平均数到分布的两侧，变量数减少，即中间多，两头少，两侧对称。
步骤 2：标准正态分布的定义
$\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$ 的正态分布称为标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$。
步骤 3：正态分布曲线的特点
①正态分布曲线是以平均数 $\mu$ 为峰值的曲线，当 $x = \mu$ 时，$f(x)$ 取最大值 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$；
②正态分布是以 $\mu$ 为中心向左右两侧对称的分布；
③$\frac{x-\mu}{\sigma}$ 的绝对值越大，$f(x)$ 值就越小，但 $f(x)$ 永远不会等于 0，所以正态分布以 x 轴为渐近线，x 的取值区间为 $(-\infty, +\infty)$；
④正态分布曲线完全由参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 来决定；
⑤正态分布曲线在 $x = \mu \pm \sigma$ 处各有一个拐点；
⑥正态分布曲线与 x 轴所围成的全部面积必定等于 1。
步骤 4：μ 和 σ 对正态分布曲线的影响
正态分布具有两个参数 $\mu$ 和 $\sigma$。$\mu$ 确定正态分布曲线在 x 轴上的中心位置，$\mu$ 减小，曲线左移，$\mu$ 增大，曲线右移；$\sigma$ 确定正态分布曲线的展开程度，$\sigma$ 越小，曲线展开程度越小，曲线越陡高，$\sigma$ 越大，曲线展开程度越大，曲线越矮宽。