20.单选题(4分)三元二次型x_(1)^2+2x_(2)^2-3x_(3)^2+4x_(1)x_(2)-6x_(2)x_(3)的秩是()A. 1B. 0C. 3D. 2

本题考查三元二次型的秩的计算，解题思路是先将二次型表示为矩阵形式，得到对应的对称矩阵，再通过计算该矩阵的行列式来确定矩阵的秩，进而得到二次型的秩。

1. 将二次型表示为矩阵形式：
   对于三元二次型$f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}a_{ij}x_ix_j$（$a_{ij}=a_{ji}$），其矩阵形式为$f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$，其中$\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$，$A=(a_{ij})$是对称矩阵。
   已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-6x_{2}x_{3}$，则$a_{11} = 1$，$a_{22} = 2$，$a_{33} = -3$，$a_{12}=a_{21} = 2$，$a_{13}=a_{31} = 0$，$a_{23}=a_{32} = -3$。
   所以对应的对称矩阵$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\2 & 2 & -3 \\0 & -3 & -3\end{pmatrix}$。
2. 计算矩阵$A$的行列式：
   根据三阶行列式的计算公式$\det(A)=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，对于矩阵$A$有：
   $\det(A)=1\times\begin{vmatrix}2 & -3 \\-3 & -3\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2 & -3 \\0 & -3\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}2 & 2 \\0 & -3\end{vmatrix}$
   先计算二阶行列式$\begin{vmatrix}2 & -3 \\-3 & -3\end{vmatrix}=2\times(-3)-(-3)\times(-3)=-6 - 9=-15$，$\begin{vmatrix}2 & -3 \\0 & -3\end{vmatrix}=2\times(-3)-0\times(-3)=-6$。
   则$\det(A)=1\times(-15)-2\times(-6)+0=-15 + 12=-3\neq0$。
3. 确定矩阵$A$的秩：
   对于$n$阶方阵$A$，若$\det(A)\neq0$，则矩阵$A$满秩，即$r(A)=n$。
   因为$A$是三阶方阵且$\det(A)\neq0$，所以$r(A)=3$。
4. 得到二次型的秩：
   二次型的秩等于其对应对称矩阵的秩，所以二次型$f(x_1,x_2,x_3)$的秩为$3$。