设X和Y是离散型随机变量,其中X的分布律为[}x_0 = 0 & x_1 = 1 1)/(4) & (3)/(4) = 1。已知n维向量alpha_1, alpha_2, alpha_3线性无关,则alpha_1 + alpha_2, alpha_2 + 2alpha_3, Xalpha_3 + Yalpha_1线性相关的概率是( )。A. (3)/(4)B. (1)/(4)C. 1D. (1)/(2)

本题主要考查离散型随机变量的分布律以及向量组线性相关的知识。解题的关键在于根据向量组线性相关的定义，结合已知的随机变量取值情况，求出向量组线性相关的概率。

1. 首先明确向量组线性相关的定义：
   对于向量组$\beta_1,\beta_2,\beta_3$，若存在不全为零的实数$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$，则称向量组$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性相关。
   已知向量组为$\alpha_1 + \alpha_2$，$\alpha_2 + 2\alpha_3$，$X\alpha_3 + Y\alpha_1$，设存在实数$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1(\alpha_1 + \alpha_2)+k_2(\alpha_2 + 2\alpha_3)+k_3(X\alpha_3 + Y\alpha_1)=0$。
   将上式整理可得$(k_1 + k_3Y)\alpha_1+(k_1 + k_2)\alpha_2+(2k_2 + k_3X)\alpha_3 = 0$。
   因为$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，所以由线性无关的性质可知$\begin{cases}k_1 + k_3Y = 0\\k_1 + k_2 = 0\\2k_2 + k_3X = 0\end{cases}$。
2. 然后分析随机变量$X$和$Y$的取值：
   已知$X$的分布律为$\begin{pmatrix}x_0 = 0 & x_1 = 1 \\\frac{1}{4} & \frac{3}{4}\end{pmatrix}$，即$P(X = 0)=\frac{1}{4}$，$P(X = 1)=\frac{3}{4}$；且$P\{Y = -\frac{1}{2}\} = 1$。
   将$Y = -\frac{1}{2}$代入$\begin{cases}k_1 + k_3Y = 0\\k_1 + k_2 = 0\\2k_2 + k_3X = 0\end{cases}$，得到$\begin{cases}k_1-\frac{1}{2}k_3 = 0\\k_1 + k_2 = 0\\2k_2 + k_3X = 0\end{cases}$。
   由$k_1-\frac{1}{2}k_3 = 0$可得$k_1=\frac{1}{2}k_3$，将其代入$k_1 + k_2 = 0$，可得$k_2=-\frac{1}{2}k_3$。
   再将$k_2=-\frac{1}{2}k_3$代入$2k_2 + k_3X = 0$，得到$-k_3 + k_3X = 0$，即$k_3(X - 1)=0$。
3. 接着讨论向量组线性相关的情况：
   当$X = 1$时，$k_3$可以取任意非零实数，此时$k_1=\frac{1}{2}k_3$，$k_2=-\frac{1}{2}k_3$，满足$k_1,k_2,k_3$不全为零，所以向量组$\alpha_1 + \alpha_2$，$\alpha_2 + 2\alpha_3$，$X\alpha_3 + Y\alpha_1$线性相关。
   当$X = 0$时，由$k_3(X - 1)=0$可得$k_3 = 0$，进而$k_1 = 0$，$k_2 = 0$，不满足$k_1,k_2,k_3$不全为零，所以向量组线性无关。
4. 最后计算向量组线性相关的概率：
   因为向量组线性相关等价于$X = 1$，已知$P(X = 1)=\frac{3}{4}$，所以向量组$\alpha_1 + \alpha_2$，$\alpha_2 + 2\alpha_3$，$X\alpha_3 + Y\alpha_1$线性相关的概率为$\frac{3}{4}$。